Encontrar el grupo fundamental del espacio $X=(S^1\times S^1)/(S^1\times \{s_0\})$

Question

Encontrar el grupo fundamental del espacio $X=(S^1\times S^1)/(S^1\times \{s_0\})$

No estoy seguro de cómo hacerlo. Parece obvio que $\pi_1(X)=\mathbb{Z}$ porque $X$ es un toro donde una clase de bucles no triviales se contrae al punto.

También hay un hecho que encontré que puede ser utilizado aquí para mostrar que $X$ es homotópicamente equivalente a $S^2\vee S^1$ lo que seguramente haría obvio el resultado anterior. Sin embargo, no estoy seguro de cómo utilizar este hecho que dice:

Para $i=1,2$ dejar $Z_i=X \sqcup_{h_i}X$ sea el espacio topológico resultante de pegar $\overline{B^n}$ a $X$ junto al mapa $h_i:S^{n-1}\to X$ . Si $h_1$ y $h_0$ son homotópicos, entonces $Z_0$ y $Z_1$ son homotópicamente equivalentes.

Answer 1

Dejemos que $X$ sea su espacio, y observe que se puede realizar como un cociente de $I^2$ . En particular, la estructura habitual del toro es un mapa cociente $q:I^2 \to I^2/\sim$ tomando $(x,0) \sim (x,1)$ y $(0,y) \sim (1,y)$ .

Ahora hay otro cociente $p:I^2 \to I^2/\sim$ tomando $(x_1,0) \sim (x_2,0)$ y $(x_1,1) \sim (x_2,1)$ . Su espacio se hace haciendo $q$ primero y luego $p$ (o técnicamente el mapa inducido por $p$ .)

Sin embargo, la situación es más clara si se hace $p$ primero y luego $q$ .

Pellizcando dos lados del cuadrado hasta un punto se obtiene una estructura de $2$ celdas cero, y dos $1$ -células uniéndolas, y llenando esto con un $2$ -célula. El bautismo inducido por $q$ pega estos dos $1$ células juntas dando una esfera, pero todavía tenemos que identificar el $0$ -células, por lo que se trata de una esfera con dos puntos identificados.

Existe una excelente ilustración de que una esfera con dos puntos identificados es homotópicamente justa $S^2 \vee S^1$ aquí .

Ahora se puede aplicar siefert-Van kampen para obtener el resultado.