Probabilidad de que Papá Noel regale $N$ diferentes regalos a exactamente $N-1$ niños

Question

Santa está dando al azar $N$ diferentes regalos a $N$ diferentes niños.

1. ¿cuál es la probabilidad de que Samuel no reciba un regalo?

2. ¿cuál es la probabilidad de que cada ¿El niño tiene un regalo?

3. ¿cuál es la probabilidad de que existe un niño que no recibió un regalo

4. ¿cuál es la probabilidad de que exactamente ¿un niño no recibió un regalo?

Mi intento:

Las tres primeras secciones las he conseguido hacer. Para la cuarta sección - estoy perdido.

1. calculando el evento complementario: Probabilidad de que Samuel no lo hizo conseguir el primer regalo: $1 - \frac{1}{N}$ repitiendo este proceso $N$ tiempos: $$P(A) = \left(1 - \frac{1}{N}\right)^N$$

2. $ \ P(B) = \frac{N!}{N^N}$ donde $N!$ es el número de formas diferentes de regalar $N$ presenta

3. $\ P(C) = 1 - \frac{N!}{N^N}$

4. $ \ \Omega = N^N$ .

Para el numerador: si exactamente un niño no recibió un regalo, entonces existe exactamente un niño que recibió $2$ presenta. Existe $N-1$ niños que sí recibieron un regalo, lo que significa que hay $N-1!$ (es una suposición) para dar $N$ presenta a $N-1$ ¿niños?

Answer 1

Sus respuestas a las tres primeras preguntas son correctas.

Si $N$ diferentes regalos se distribuyen aleatoriamente a $N$ niños, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente un niño no reciba un regalo?

Hay $N^N$ formas de distribuir los regalos.

Si exactamente un niño no recibe un regalo, exactamente un niño debe recibir dos regalos. Hay $N$ formas de elegir al niño desafortunado que no recibe un regalo. Eso deja $N - 1$ formas de seleccionar al niño afortunado que recibe dos regalos. Hay $\binom{N}{2}$ formas de seleccionar los dos regalos que recibe el niño. Hay $(N - 2)!$ maneras de distribuir el resto $N - 2$ presenta a los restantes $N - 2$ niños. Por lo tanto, el número de casos favorables es $$\binom{N}{1}\binom{N - 1}{1}\binom{N}{2}(N - 2)! = N!\binom{N}{2}$$

Por lo tanto, la probabilidad de que exactamente un niño no reciba un regalo es $$\frac{N!\binom{N}{2}}{N^N}$$

Answer 2

Tu planteamiento empieza bien, pero tendríamos N-2 niños con exactamente un regalo, 1 sin regalos y 1 con dos regalos. Si los niños y los regalos son distinguibles, entonces hay N maneras de elegir quién no recibe un regalo, y una vez que elegimos a ese niño, quedan N-1 opciones para quién recibe dos regalos.

Hay ${N \choose 2}$ formas de elegir los regalos que recibe el niño con dos regalos, y (N-2)! formas de distribuir los regalos restantes. Alternativamente, hay N! maneras de distribuir los regalos, pero el orden en que se eligen los regalos dobles no importa, por lo que debemos dividir por 2!=2.

Es decir, podemos pensar que hay N cubos. Hay N(N-1) formas de dar a un niño dos cubos y a otro ninguno. Hay N! formas de poner los regalos en los cubos. Como al niño que recibe dos regalos le da igual cuál de sus dos cubos recibe cuál de sus dos regalos, debemos dividir por 2. Así que el numerador debe ser N(N-1)N!/2.

Answer 3

La probabilidad es $0$ porque no existe Santa Claus.

Okay....

Creo que un truco sutil es no pensar en términos de qué niño recibe qué regalo, sino pensar qué regalo va a cada niño.

Hay $N$ regalos y cada regalo puede ir a uno de $N$ niños para que haya $N^N$ resultados.

1) si Samuel no recibió un regalo, entonces cada regalo podría haber ido a cualquiera de los $N-1$ otros niños. Así que hay $(N-1)^N$ formas en que esto podría ocurrir. Así que la probabilidad de que Samuel no reciba un regalo es

$\frac {(N-1)^N}{N^N} = (\frac {N-1}{N})^N = (1 - \frac 1N)^N$ .

2) Para que cada niño reciba un regalo hay $N$ niños que podrían conseguir el primero, $N-1$ niños que podrían obtener el segundo y así sucesivamente. Hay $N!$ maneras de distribuir para que la probabilidad sea:

$\frac {N!}{N^N}$ .

3) Bueno, eso sería $1$ menos la probabilidad de que cada niño tenga un regalo:

$1 - \frac{N!}{N^N}$ .

4) Bueno, yo lo haría así. Usted es correcto es un niño que va dos regalos. Hay $N$ opciones para el niño que no recibió un regalo. Hay $N-1$ opciones para el niño que recibió dos regalos. Hay ${N\choose 2}$ opciones para los dos regalos que recibió ese niño mocoso. Si los restantes $N-2$ niños y $N-2$ presenta hay $(N-2)!$ formas de organizarlas.

Así que hay $N*(N-1)*{N\choose 2}*(N-2)!= \frac {N^2(N-1)^2}2(N-2)!$ formas para que exactamente un niño tenga toda su vida arruinada y esté amargado y resentido para siempre. Así que la probabilidad es

$\frac {N^2(N-1)^2(N-2)!}{2N^N} =\frac {(N-1)(N-1)!}{2N^{N-1}}$

...

Por cierto.

P: ¿Por qué no caben Papá Noel y Mae West en la misma cabina telefónica?

R: ¿Cuándo fue la última vez que vio una cabina telefónica?

(Cuando se contó el chiste por primera vez, la respuesta fue: "No existe Papá Noel", y muy bien, si va a repartir regalos al azar y no le importa que algunos pobres niños no reciban ninguno y que otros reciban más de uno...., qué imbécil).