Los racionales no nulos bajo multiplicación no son un grupo cíclico

Question

¿Son cíclicos los racionales no nulos bajo la multiplicación?

Esto es lo que pienso. No lo son. El generador debe ser un racional $q = a/b$ , $a$ , $b$ enteros sin factores comunes. Supongamos que $a/b$ genera $\mathbb Q\setminus \{0\}$ entonces $q^n = a^n/b^n$ o $(1/q)^n = b^n/a^n$ . Esto es imposible ya que podemos encontrar un primo (hay infinitos) que no divida a ninguno de los dos $a$ o $b$ que tienen un número finito de factores primos. Aunque no estoy seguro de que lo demuestre.

Answer 1

Su prueba me parece bien.

Una alternativa es esta. Si $\Bbb Q^\times$ fuera cíclico, sería infinitamente cíclico, por lo que $\simeq \Bbb Z$ . Pero $-1$ tiene un orden de dos en $\Bbb Q^\times$ y no hay ningún elemento de orden dos en $\Bbb Z$ : cada elemento tiene un orden infinito, excepto $0$ .

Answer 2

Sigamos su comentario: supongamos que $\mathbb Q^{\times}$ es cíclico generado por $a/b$ con $\gcd(a,b)=1$ y tomar una prima $p$ . Entonces $1/p=a^n/b^n$ o $1/p=b^n/a^n$ con $n\ge 1$ Es decir, $b^n=pa^n$ o $a^n=pb^n$ . Así que $p\mid b^n$ o $p\mid a^n$ y por lo tanto $p\mid b$ o $p\mid a$ . Si $p$ se elige lo suficientemente grande (digamos que mayor que cualquier primo que aparezca en las descomposiciones de $a$ y $b$ ), entonces es imposible tener $p\mid a$ o $p\mid b$ .

Answer 3

Si $q\in\mathbb{Q}\backslash\left\{ 0\right\} $ generaría el grupo entonces $q^{n}=-1$ para algunos $n\in\mathbb{Z}\backslash\left\{ 0\right\}$ .

Entonces $q^{2\left|n\right|}=1$ , así que $\left\langle q\right\rangle =\left\{ q^{r}\mid r=0,1,\ldots,2\left|n\right|-1\right\} $ es finito y se encuentra una contradicción.

Está en la misma línea que la prueba (más elegante) de Pedro.

Answer 4

Sí, podrías demostrarlo con tu argumento de los números primos, pero creo que es fácil de ver de esta manera:

Supongamos que el grupo multiplicativo $\mathbb{Q} ^ \times$ es generado por un solo elemento $q$ . Entonces el grupo puede escribirse como $$\dots,\ q^{-2},\ q^{-1},\ q^0,\ q^1,\ q^2,\ \dots$$

Debería ser fácil ver la secuencia generalizada $$\dots,\ |q^{-2}|,\ |q^{-1}|,\ |q^0|,\ |q^1|,\ |q^2|,\ \dots$$ es constante, estrictamente creciente o estrictamente decreciente (dependiendo de si $|q| = 1$ , $|q| > 1$ o $|q| < 1$ ).

En cualquier caso, deberías ver que falla bastantes números racionales, por lo que no puede ser cíclico (el mismo argumento se aplica a $\mathbb{R} ^ \times$ e incluso $\mathbb{C} ^ \times$ también)

Answer 5

El teorema fundamental de la aritmética dice exactamente que los números primos definen una base libre de $\mathbb{Q}^{\times}$ . Por lo tanto, $\mathbb{Q}^{\times}$ es un grupo libre abeliano de rango $\aleph_0$ en particular, no puede ser cíclico.