Referencias para el cálculo multivariable

Question

Debido a mi ignorancia, encuentro que la mayoría de las referencias de análisis matemático (análisis real o cálculo avanzado) que he leído no hablan mucho del "cálculo multivariante". Después de tratar teóricamente el cálculo monovariable, se suele pasar directamente al tema de la teoría de la medida.

Después de leer el artículo de la wiki " Prueba de la segunda derivada parcial ", me gustaría encontrar la prueba rigurosa para esta prueba. El primer libro que se me ocurre es el de Courant Introducción al cálculo y al análisis que incluye el caso multivariado en el segundo volumen.

Motivado por esto, me gustaría plantear la pregunta aquí:

¿Cuáles son las referencias habituales para el teórico tratamiento para el Cálculo multivariable ?

Answer 1

Suelo pensar que el cálculo multivariable se divide en cuatro partes:

• Diferenciación (parcial)
• Integración (múltiple)
• Curvas y superficies en $\mathbb{R}^3$
• Cálculo vectorial (teorema de Green, teorema de Stokes, teorema de divergencia)

Para la diferenciación, puede utilizar Principios del análisis matemático de Rudin (capítulo 9). En realidad, este texto también trata de la integración y el cálculo vectorial (capítulo 10), pero a mí personalmente me resultaba difícil seguir el tratamiento de Rudin cuando empezaba a aprender la asignatura.

Para la diferenciación, la integración y el cálculo vectorial se puede utilizar Cálculo sobre Múltiples de Spivak, o Análisis en colectores por Munkres.

Para las curvas y superficies, se puede utilizar básicamente cualquier libro de geometría diferencial elemental. Uno de los más utilizados es Geometría diferencial de curvas y superficies de do Carmo, aunque recomiendo encarecidamente Geometría diferencial elemental por Pressley.

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Algunas observaciones sobre el rumbo de estos temas, con una inclinación hacia la geometría diferencial:

Diferenciación de funciones $f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ puede generalizarse a diferenciales (también conocido como pushforwards ) de los mapas $f\colon M \to N$ entre las variedades diferenciables .

Todas las referencias que he mencionado anteriormente tratan múltiples Riemann integración de funciones $f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ . Esto se puede generalizar a múltiples Lebesgue integración mediante la consideración de medidas del producto .

La teoría de las curvas y las superficies conduce naturalmente a Geometría riemanniana aunque ciertamente otras ramas de la geometría también generalizan este tema.

En el cálculo vectorial, se discuten las integrales de línea y las integrales de superficie tanto de funciones como de campos (co)vectoriales. En mi opinión, los entresijos de estos procesos no se comprenden del todo hasta que se estudia la integración de formas diferenciales en variedades diferenciables.

Answer 2

Hay muchos libros excelentes que cubren el cálculo/análisis multivariable, pero no estoy seguro de que exista realmente un "estándar".

Dicho esto, aquí hay algunos que me gustan sin ningún orden en particular:

Cálculo vectorial, álgebra lineal y formas diferenciales: Un enfoque unificado por Hubbard y Hubbard. Este texto incluye pruebas de los principales teoremas del cálculo vectorial y, como gran ventaja para el autodidacta, un manual de soluciones para muchos de los problemas, de modo que pueda comprobar su trabajo. Debería ser accesible para cualquier persona con una buena formación en cálculo básico.

Wendell Fleming's Funciones de varias variables es un tratamiento algo más sofisticado del tema, pero sigue siendo elemental y accesible. El autor llega a demostrar el Teorema de Stoke sobre las variedades. Incluye la teoría de las medidas, pero sólo lo suficiente para que la integración en un contexto general tenga sentido.

Si estás realmente interesado en los aspectos geométricos del cálculo avanzado, echa un vistazo al recientemente publicado por Callahan Cálculo avanzado: Una visión geométrica . Este tratamiento está lejos de ser estándar, pero es bastante riguroso y el autor se esfuerza por transmitir el contenido geométrico del material. El libro tiene toneladas de ilustraciones y utiliza experimentos numéricos por ordenador para ayudar a la intuición.

Otro libro que también se centra en el contenido geométrico es el de Baxandall y Liebeck Cálculo vectorial . El nombre de este libro podría recordar a los textos muy elementales que se centran en el enchufe y la clavija, pero esta impresión no sería exacta. Se trata de un texto muy sólido, que ojalá me hubieran enseñado en "Cálculo III".

Un texto más sofisticado que todos los anteriores, pero extremadamente bien escrito y accesible, es el de Shroeder Análisis Matemático: Una introducción concisa . Este libro tiene un sabor mucho más "analítico", más en la línea de, digamos, Rudin, pero fue escrito para ser autocontenido y requerir pocas prerrequisitos. El texto comienza de forma fácil y lenta, pero se desarrolla rápidamente para cubrir los principales teoremas del análisis en contextos generales (es decir, espacios de Banach y Hilbert).

También me quito el sombrero ante un texto que se ha mencionado en otra respuesta: Cálculo avanzado de Loomis y Sternberg. Es un libro maravilloso y es una pena que ya no esté impreso.

Answer 3

Como estoy de acuerdo con algunas de las buenísimas recomendaciones dadas en el post Libros de texto de cálculo multivariable (teórico) Voy a mencionar mis selecciones aquí.

Mi consejo personal son los dos volúmenes de Zorich - _"Análisis Matemático vol. 1" y "Análisis Matemático vol. 2"_ . Mire atentamente el índice de ambos, ya que tratan todo el cálculo riguroso necesario, desde los números reales y las funciones de una variable hasta el cálculo multivariable y el análisis vectorial, las curvas y las superficies, las formas diferenciales, las series y los métodos asintóticos. Se incluyen la mayoría de las demostraciones: desde las reglas y técnicas fáciles habituales de diferenciación e integración indefinida en una variable hasta resultados muy importantes en el cálculo multivariable como el teorema general de Stoke y la fórmula de cambio de variables dentro de una integral múltiple de Riemann (un resultado fundamental que no se demuestra en muchos otros libros con tanto rigor más allá de las justificaciones heurísticas para integrales dobles o triples).

Un libro centrado sólo en el cálculo multivariable con una tremenda visión (llena de figuras) y motivación es Callahan 's - _" Cálculo avanzado: Una visión geométrica "_ . Es un libro muy bien escrito que es algo menos duro que Zorich pero también menos ambicioso en su alcance.

Realmente creo que son una magnífica referencia completa para el análisis real necesario justo antes de entrar en la teoría general de la medida (integración de Lebesgue) y otros temas más avanzados como los operadores y los espacios de Hilbert (como gran complemento a Zorich, que trata estos temas adv. un gran libro es Kantorivitz - "Introducción al análisis moderno" )

Answer 4

El condensador en paralelo será adecuado, pero sólo si lo eliges con cuidado.

Como explica @stevenvh, un condensador en paralelo a la carga es adecuado para cargas pulsadas. La característica importante del condensador (aparte de su capacitancia C ) es su resistencia de aislamiento (IR). La resistencia de aislamiento determina la fuga de carga del condensador mientras se espera entre impulsos.

Los condensadores cerámicos tienen un alto IR, y Murata da información en sus hojas de datos que pueden obtenerse en http://www.murata.com/products/capacitor/design/data/property.html . Su serie X5R se especifica con $$ \mathrm{IR}_\mathrm{X5R}\cdot C = 50~\Omega\cdot\mathrm{F} $$ lo que significa que 1000 μF formados por condensadores en paralelo tienen una resistencia de 50 kΩ. $$ \mathrm{IR}_\mathrm{X5R} = 50~\Omega\cdot\mathrm{F}/C = \frac{50}{1000\cdot 10^{-6}} = 50~\mathrm{k}\Omega $$

A 3 V tendrás una corriente de fuga de 60 μA, que es comparable al consumo medio de corriente de tu carga.

Para mejorar esto puedes probar con otro tipo de condensador. Los condensadores NP0 o C0G tienen menos fugas pero ocuparán mucho más espacio en la placa de circuito impreso. $$ \mathrm{IR}_\mathrm{NP0}\cdot C = 500~\Omega\cdot\mathrm{F} $$

Answer 5

Spivak's Cálculo sobre Múltiples es un gran libro. Está disponible en Dover Westview Press y bastante barato no es caro. Acierta en todo en la lista de @Jesse Madnick.