Ecuación diferencial por sustitución

Question

Tengo la siguiente ecuación diferencial con una pista para resolver de usar la sustitución de $u = \frac{y}{x}$ :

$$\frac{dy}{dx} = \frac{(y/x)^3 + 1}{(y/x)^2}$$

Me preguntaba, después de la sustitución, ¿qué hace el $\frac{dy}{dx}$ ¿se convierte en? ¿Es sólo $\frac{dF}{du}$ ? es decir, alguna función nueva $F(u)$ con una variable independiente $u$ ?

Esto es sólo una suposición, ¿podría alguien explicar cómo el $\frac{dy}{dx}$ cambia después de la sustitución y por qué?

Answer 1

La sustitución se realiza como $y=ux$ , sólo tienes que reemplazar $y$ en todas partes.

$$\frac{dy}{dx} = \frac{(y/x)^3 + 1}{(y/x)^2}$$ se convierte en $$\frac{d(ux)}{dx} = \frac{((ux)/x)^3 + 1}{((ux)/x)^2}.$$ Y utilizando la regla de la derivada de un producto

$$\frac{du}{dx}x+u\cdot1 = \frac{u^3 + 1}{u^2},$$ o $$\frac{du}{dx}x = \frac1{u^2}.$$

Answer 2

$u=\frac{y}{x}$ o $xu=y$ así que $u+xu'=y'$ utilizando la regla del producto en el lado izquierdo.

Answer 3

Tenemos $u'x+u=\frac{u^3+1}{u^2}$
$u'x=\frac{1}{u^2}$ así $u^2du=\frac{dx}{x}$