Representación de Weierstrass y función de altura

Question

Que sea $(g,\omega)$ los datos de Weierstrass de una inmersión $X: \Sigma\to \mathbb{R}^3$ es decir, $g$ una función meromórfica y $\omega$ una 1 forma holomórfica tal que $$X=\mathcal{Re}\int_\gamma (\frac{1}{2}(1-g^2)\omega,\frac{i}{2}(1+g^2)\omega,g\omega).$$ Supongamos que, lejos del punto crítico de la función de altura $x_3$ existe una coordenada compleja local $w$ tal que $x_3=\mathcal{Re}(w)$ Es decir, $$\mathcal{Re}(\int_\gamma g\omega)=\mathcal{Re}(w).$$

En qué condiciones tengo que $$g\omega= dw?$$

Answer 1

Localmente alrededor de un punto $p$ , escriba $\omega = m (z) dz$ y $dw = w'(z) dz$ . Entonces su ecuación $g \omega = dw$ equivale a $$\begin{equation} g(z) m(z) = w'(z).\end{equation}$$ Desde $p$ no es un punto crítico, tenemos que $w'(z) \neq 0$ . Por lo tanto, se requiere que (1) $g$ y $\omega$ son distintos de cero en $p$ o (2) el orden del polo de $g$ en $p$ es igual al orden del cero de $\omega$ en $p$ .

Tenga en cuenta que como $X$ es una inmersión, si $\omega$ tiene un cero de orden $2m$ en $p$ entonces $g$ debe tener un polo de orden como máximo $m$ en $p$ . En particular, (2) nunca se satisface.

Así que debes tener esa $g$ y $\omega$ sea distinto de cero en $p$ .