si $f$ es $C^1$ ¿tenemos siempre $\|f(y_n)-f(y)\|_{L^2(0,1)} \longrightarrow 0 ?$

Question

Dejemos que $f\in C^1(\mathbb{R})$ y $y,y_n\in L^2(0,1)$ , suponiendo que $$\|y_n-y\|_{L^2(0,1)} \longrightarrow 0,$$ podemos deducir que $$\|f(y_n)-f(y)\|_{L^2(0,1)} \longrightarrow 0 ?$$

Creo que no es cierto que sólo tengamos que elegir el caso particular en el que $f(s)=s^2$ y adecuada $y_n$ y $y$ en $L^2(0,1).$

Y si añadimos la siguiente hipótesis $f \in L^{\infty}(\mathbb{R})$ ¿podemos deducir entonces que $$\|f(y_n)-f(y)\|_{L^2(0,1)} \longrightarrow 0 ?$$

Answer 1

Desde $y_n \to y$ en $L^2$ por la desigualdad de Chebyshev tenemos en particular que $y_n \to y$ en medida. Por el teorema de la cartografía continua ya que $f$ es continua también tenemos $f(y_n) \to f(y)$ en medida (nótese que el enlace utiliza el término "convergencia en probabilidad" en su lugar; aquí son equivalentes). Y como $f$ está acotada, las funciones $f(y_n)$ están uniformemente limitadas por una constante, y las constantes son integrables al cuadrado en $[0,1]$ por lo que por el teorema de convergencia dominada, $f(y_n) \to f(y)$ en $L^2$ .

No necesitamos ninguna suposición sobre la derivada de $f$ .