Mostrar $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{2n^2-3}{3n^ 2+2n-1}=\frac23$ Uso de la definición formal de límite

Question

Quiero demostrar que $a_n=\frac{2n^2-3}{3n^ 2+2n-1}$ es convergente. Así que hice lo siguiente:

\begin{align*} \left|a_n-\frac23\right|&=\left|\frac{2n^2-3}{3n^ 2+2n-1}-\frac23\right|\\ &=\left|\frac{-4n-7}{3(3n^2+2n-1)}\right| \\ &<\left|\frac{4n}{3n^2}\right|\tag{$\ast$}\\ &<\left|\frac4n\right|\\ &<\frac4N\\\ \end{align*}

Pero no estoy cien por cien seguro de ( $\ast$ ) porque $|-4n-7|=|4n+7|\not<4n$ .

¿Puede alguien explicar mi error de razonamiento?

Answer 1

Supongamos que consideramos $n \geq 1$ . Entonces, \begin{align*} \left|a_n-\frac23\right|&=\left|\frac{2n^2-3}{3n^ 2+2n-1}-\frac23\right|\\ &=\left|\frac{-4n-7}{3(3n^2+2n-1)}\right| \\ &=\frac{4n+7}{3(3n^2+2n-1)}. \end{align*} Ahora puede proceder diciendo $4n + 7 \leq 5n,\,n\geq 7$ y $3n^2+2n-1\geq 3n^2,\,n\geq 1$ y por lo tanto, \begin{align*} \left|a_n-\frac23\right|\leq \frac{5}{9n},\,n\geq 7. \end{align*} En cuanto a tu razonamiento, tienes que demostrarlo realmente (no lo has hecho) \begin{align*} \frac{4n+7}{3(3n^2+2n-1)} \leq \frac{4}{3n} \end{align*} Esto se cumple si y sólo si (la multiplicación cruzada después de cancelar el común $3$ s en los denominadores) $$4n^2+7n \leq 12n^2 + 8n-4,$$ que efectivamente se mantiene para un tamaño suficientemente grande $n$ .

Aunque ambos métodos funcionan, la forma más sencilla (y menos propensa a errores) es tratar el numerador y el denominador por separado.