Factorización lineal del polinomio complejo $z^3 -(5 + i)z^2 +(2+5i)z-10$

Question

Haz una factorización lineal del siguiente polinomio complejo :

$z^3 -(5 + i)z^2 +(2+5i)z-10 $

Reorganización para $ z(z(z-(5+i))+(2+5i))-10 $ no ayuda

No sé, pero..: $1, 2, 3, i$ y $(2 +i)$ no son soluciones

Answer 1

Las raíces enteras, si las hay, son divisores del término de grado cero, $-10$ en este caso.

Porque si $ax^3+bx^2+cx=-d$ entonces $x(ax^2+bx+c)=-d$ lo que demuestra que si el polinomio tiene una raíz entera ésta debe ser un divisor de $d$

Esto da las posibilidades $\pm 1;\;\pm 2;\;\pm5;\;\pm10$

en realidad ES bastante aburrido, pero a menudo funciona. Luego haces la división corta y obtienes $z^3-(5+i) z^2+(2+5 i) z-10=(x-5)(z^2-i z+2)$

y luego

$$z^3-(5+i) z^2+(2+5 i) z-10=(z-5) (z+i) (z-2 i)$$

Answer 2

Para encontrar posibles soluciones reales, separa la parte real y la parte imaginaria. Se obtiene

$$z^3-5z^2+2z-10$$ y $$-z^2+5z$$

La parte imaginaria se factoriza como $z(-z+5)$ la parte real como $(z-5)(z^2+2)$ . De esta manera, es fácil detectar la solución $z=5$

Si se sustituye por $z$ por $ui$ y separar la parte real de la imaginaria, se obtiene $$5u^2-5u-10=5(u-2)(u+1)$$ y $$-u^3+u^2+2u=-(u-2)u(u+1)$$ dando las soluciones $2i$ y $-i$

Answer 3

$(z + i)\cdot(z - 2i)\cdot(z - 5)$

Pero, ¿por qué es esto un problema? (ver comentarios más abajo)

Answer 4

Este es un polinomio sobre el anillo de Enteros gaussianos $\mathbf Z[i]$ que es un P.I.D. con unidades $\;1,-1,i,-i$ . Como consecuencia, el teorema de las raíces racionales sigue siendo válido en este anillo, por lo que una "raíz racional" de este polinomio es un divisor de $10$ .

Sucede que $5$ es una raíz, y obtenemos por el esquema de Horner la factorización $$z^3-(5+i)z^2+(2+5i)z-10=(z-5)(z^2-iz+2). $$ Ahora el polinomio cuadrático $z^2-iz+2$ tiene la raíz obvia $-i$ por lo que, como el producto de las raíces es igual a $2$ la otra raíz es $2i$ y tenemos la factorización $$z^3-(5+i)z^2+(2+5i)z-10=(z-5)(z+i)(z-2i).$$