Representaciones en característica p

Question

Vamos a G un grupo finito y sea F una algebraicamente cerrado de campo. Si la característica de F es 0, entonces el número de irreducibles de F-representaciones de G está dada por el número de clases conjugacy de elementos de G. Un artículo que estoy leyendo dice que si la característica de F es p>0, entonces el número de F-irreps de G es el mismo que el número de clases conjugacy de elementos cuyo orden no es divisible por p.

Si G es abelian, a mí me parece que esto no debe decir que el p-subgrupo de sylow de G actúa trivialmente en cada una de las características p irrep. Esto es porque puedo dividir a G a G x P (no-p y p-subgrupos de sylow) y, a continuación, cualquier irrep de G' se extiende a uno de los G por dejar que P acto trivial. Puesto que la fórmula mencionada anteriormente podría decir que tienen el mismo número de irreps estos deben de ser todos ellos.

Mi pregunta es: ¿Es esto cierto? Si no, entonces ¿dónde está mi razonamiento va fuera de la pista?

Answer 1

Sí, estás en lo correcto. El punto es que un $p$-grupo actuando en char. $p$ siempre ha un punto fijo (y por lo tanto actúa trivialmente en una irrep.). Así que cada irrep. de $G$ en char. $p$ factores a través de $G'$, como lo previsto.

La prueba de la afirmación acerca de la $p$-grupos no es difícil. Uno de los enfoques (en general, incluso cuando $P$ no es nec. abelian) es para demostrar que por inducción sobre el orden de $P$, y así (usando el hecho de que el descenso de la central la serie no es trivial) reducir al caso en el $P$ es cíclico de orden $p$. En este caso, uno puede, por ejemplo, mira el anillo de grupo $k[P] = k[t]/(t^p - 1) = k[t-1]/(t-1)^p,$ y observar que tiene un único ideal maximal, y que, por ende, $P$ tiene un único irrep., es decir, el trivial.

Answer 2

El hecho de que el número de isomorfismo tipos de irreductible $FG$ módulos es el número de de conjugacy clases de elementos de $G$ de primer orden a $p$ (o número de $p$-regular de clases conjugacy) al $F$ es algebraicamente cerrado campo de la característica $p$ es un teorema de Richard Brauer. Las pruebas se pueden encontrar en casi cualquier texto que trata modular de representaciones de grupos finitos (por ejemplo, Curtis y Reiner,Teoría de representaciones de Grupos Finitos Asociativos y Álgebras, Wiley, 1962). Es un razonablemente primaria de ejercicio en grupo finito teoría de que, dejando $O_{p}(G)$ denotar la (única) más grande de lo normal $p$-subgrupo de $G$, hay una correspondencia uno a uno entre $p$-regular de clases conjugacy de $G$ $p$- regular de clases conjugacy de $G/O_{p}(G)$. Este es una forma de ver que $O_{p}(G)$ debe actuar trivialmente en todos los irreductible $FG$-módulos, un caso especial de lo que se había observado. Una mayor representación teórica manera de ver esto es para nota de que si $V$ es una irreductible $FG$-módulo, entonces el subespacio $V^{O_{p}(G)}$ $O_{p}(G)$- puntos fijos en $V$ $G$- invariante supspace; como se observa en los comentarios de arriba, este espacio es distinto de cero, por lo que por irreductibilidad, tiene que ser todo de $V$. (Esto puede ser visto como una aplicación particular de Clifford del Teorema).

Answer 3

Brauer prueba de que el número de similitud clases de representaciones irreducibles de $G$ más de una algebraicamente cerrado campo de la característica $p$ es igual al número de $p$-regular de clases conjugacy de $G$ es el anillo de la teoría en el sabor, y bastante difícil. También hay un fácil de carácter teórico de la prueba basado en las siguientes ideas. En primer lugar, el conjunto de IBr$(G)$ de irreductible Brauer personajes es en bijective correspondencia con las representaciones irreducibles, y este conjunto de funciones que se vive en el espacio $V$ de todos los valores complejos de la clase de las funciones definidas en el conjunto de p-elementos regulares. Desde $\dim(V)$ es igual al número de $p$-clases regulares, es suficiente para mostrar que el IBr($G$) es una base para $V$. La independencia lineal de IBr$(G)$ es un resultado estándar. A ver que IBr$(G)$ abarca, utilizar los hechos de que Tir$(G)$ se extiende por el espacio de todas las funciones de clase y que en cada una de las $p$-regular de clase, el valor de un carácter ordinario es una combinación lineal (y, de hecho, una suma) de los valores de Brauer caracteres.