No entiendo los límites de error

Question

Entiendo que se supone que nos dan un límite de lo que puede ser nuestra aproximación de una integral, pero no entiendo cómo la fórmula da eso.

¿Qué tiene que ver la segunda derivada? ¿Por qué se ponen las constantes 12 y 24 delante de $n^2$ ? Realmente estoy buscando una explicación de por qué esta fórmula nos da límites de error.

Answer 1

A continuación se presenta una derivación del límite de error para la regla del punto medio.

La regla del punto medio es

$$\int_{a}^{b}f(x)dx \approx \frac{b-a}{n}\sum_{j=1}^{n}f(\bar{x}_j),$$

donde $x_j = a + j(b-a)/n$ y $\bar{x}_j = (x_{j-1}+x_j)/2.$

El error absoluto es

$$E = \left|\int_{a}^{b}f(x)dx - \frac{b-a}{n}\sum_{j=1}^{n}f(\bar{x}_j)\right| = \left|\sum_{j=1}^{n}\int_{x_{j-1}}^{x_{j}}[f(x)-f( \bar{x}_j)]dx \right|.$$

Usando el teorema de Taylor,

$$f(x) = f(\bar{x}_j)+f'(\bar{x}_j)(x-\bar{x}_j) + \frac1{2}f''(\xi_x)(x-\bar{x}_j)^2, $$

donde $\xi_x$ está entre $x$ y $\bar{x}_j$ y $|f''(\xi_x)| \leq K$ .

Sustituyendo e integrando obtenemos

$$E = \left|\sum_{j=1}^{n}\frac1{2}\int_{x_{j-1}}^{x_{j}}f''( \bar{x}_j)(x-\bar{x}_j)^2dx \right| \\ \leq \frac1{2}\sum_{j=1}^{n}\int_{x_{j-1}}^{x_{j}}|f''( \bar{x}_j)|(x-\bar{x}_j)^2dx \leq \frac{K}{24}\sum_{j=1}^{n}(x_j-x_{j-1})^3 = \frac{K}{24}\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{b-a}{n}\right)^3\\= \frac{K(b-a)^3}{24n^2}$$

Answer 2

Estas fórmulas son métodos para aproximando integrales.

Porque la respuesta real no es la que se obtiene utilizando la regla de Simpson, la regla trapezoidal, etc.

Asignamos para ello diferencia utilizando una fórmula para calcular esa diferencia.

Utilizamos esta diferencia para ver lo cerca que está nuestro valor del valor aceptado.

Se trata de una aplicación útil tanto en física como en matemáticas.