Cuadratura gaussiana y error $O(h^4)$

Question

Tengo un poco de confusión con un problema que estoy tratando de resolver con respecto al error. Dado que el error del método de cuadratura gaussiana compuesta de segundo orden debería ser $O(h^4)$ ¿Cómo puedo utilizar esa información y el error real en un número determinado de subintervalos? $N$ para predecir el error si $N$ se aumentó o disminuyó en un factor de $5$ ?

Answer 1

Para el $2$ -puntos de cuadratura de Gauss-Legendre el error sobre un único intervalo de anchura $b-a$ es $$e_1=\frac{(b-a)^5}{4320}f^{(4)}(\xi)$$ Para algunos $a<\xi<b$ . Si se aumenta el número de subintervalos en un factor de $N$ el error máximo por subintervalo se reduce en un factor de $N^5$ pero el número de subintervalos se multiplica por $N$ por lo que el error máximo se reduce en un factor de $N^4=5^4=625$ . Debe quedar claro que si el número de subintervalos se redujera en un factor de $5$ el error máximo subiría por ese mismo factor de $625$ .