Si $D$ es un dominio integral, demuestre $M_n(D)$ es un anillo primo

Question

Así que para $M_n(D)$ sea un anillo primo significa que si $A$ , $B$ son ideales de $M_n(D)$ y $AB=0$ entonces $A=0$ o $B=0$ .

El hecho de que $D$ es un dominio integral parece bastante crucial, porque esto significa que si $a,b \in D$ y $ab=0$ entonces $a=0$ o $b=0$ .

De todos modos, dejemos que $A,B$ sean ideales de $D$ s.t. $AB=0$ .

$AB = \{ab : a \in A, b \in B\}$

También he deducido que si $A$ es un ideal de $M_n(D)$ entonces $A$ es de la forma $M_n(I)$ donde $I$ es un ideal de $D$ .

Voy a necesitar algunos consejos de este punto.. ¡Gracias a todos!

Answer 1

Supongamos que $A,B \ne 0$ .

Dejemos que $M = (a_{ij})\in A$ con $M \ne 0$ . Existe un elemento $a_{rs} \ne 0$ .

Denote $E_{ij}$ la matriz con $1$ como la posición $(i,j)$ y $0$ en otro lugar. Tenemos

$$a_{rs}E_{11} = E_{1r}ME_{s1} \in A$$

Del mismo modo, toma $N = (b_{ij})\in B$ con $b_{kl} \ne 0$ así que $b_{kl}E_{11} \in B$ .

Por lo tanto, $$0 \ne (a_{rs}b_{kl})E_{11} = (a_{rs}E_{11})(b_{kl}E_{11}) \in AB$$

Tenga en cuenta que $a_{rs}b_{kl} \ne 0$ porque $D$ es un dominio integral.

Answer 2

Demostremos el contrapositivo: si $A \ne 0$ y $B \ne 0$ entonces $AB \ne 0$ .

Utilizando su hecho, que $A = M_n(I)$ y $B = M_n(J)$ para algunos ideales $I,J$ de $D$ . Si $A \ne 0$ y $B \ne 0$ entonces hay elementos no nulos $x \in I$ y $y \in J$ para que $x\mathbf{1} \in A$ y $y\mathbf{1} \in B$ , donde $\mathbf{1}$ es la matriz de identidad (por lo que $x\mathbf{1}$ es la matriz con $x$ en la diagonal y $0$ en otro lugar). A continuación, $xy\mathbf{1} = (x\mathbf{1})(y\mathbf{1}) \in AB$ es distinto de cero ya que $D$ es un dominio integral.

Answer 3

Otra forma: con no mucho esfuerzo se puede demostrar que $M_n(I)M_n(J)=M_n(IJ)$ .

Entonces $M_n(I)M_n(J)=M_n(IJ)=M_n(0)$ implica $I=0$ o $J=0$ .

Superficialmente parece que no estamos usando elementos de $R$ pero probablemente probarías mi afirmación inicial con elementos.