Prueba Z para una proporción de población

Question

Me piden que realice una prueba Z para una proporción poblacional sobre si un dado es justo. La única información que me dan es que "Un dado cayó mostrando un "cuatro" en $124$ ocasiones fuera de $500$ ".

No estoy seguro de cómo hacerlo, pero después de intentarlo, esto es lo que tengo:

$H_0: p = 0.1667$ (el dado es justo, los resultados son igualmente probables)

$H_1: p \neq 0.1667$

Aquí, supondré que el nivel de significación es $\alpha = 5\%$

Utilizando la fórmula de la prueba Z, tengo que $Z_{\text{observed}} = 10.9$

¿Es esto correcto? Me gustaría recibir ayuda.

Answer 1

Si el dado es justo, la proporción de $4$ 's a esperar es $1/6=0.1667$ . ¿Es su proporción observada de $p_{\text{ obs}}=124/500=0.248$ lo suficientemente lejos de ella como para excluir la hipótesis nula, $H_0: p_{\text{ true}}=0.1667$ , basado en la proporción observada en un $5\%$ ¿nivel de significación?

Puede investigar esto de dos maneras diferentes:

1. Utilizando cálculos asintóticos (aproximación normal o prueba Z):

$$\text{test statistic}= \frac{p_{\text{ obs}} - p_{\text{ true}}}{\sqrt{\frac{p_{\text{ true}}\,(1\,-\,p_{\text{ true}})}{n}}}=\frac{0.248-0.1667}{\sqrt{\frac{0.1667\times(1-0.1667)}{500}}}=4.88$$

2. Utilizando la prueba binomial:

$$\Pr(\text{fours} \geq 124)= \sum_{x=124}^{500} {500\choose x} \,0.1667^x\, (1-0.1667)^{500-x}$$

un cálculo que explica la dependencia del primer método (sobre todo antes de los ordenadores modernos).