Bajo algunas suposiciones leves, este es un cálculo sencillo. Consideremos un sistema formado por el Sol, un satélite y Júpiter. En un sistema de coordenadas en el que el Sol está inmóvil, Júpiter y el satélite tienen velocidades $\vec{v}_J$ , $\vec{v}_s$ respectivamente. Tendremos que suponer que no nos importa la influencia del Sol sobre el Satélite durante la maniobra de honda propiamente dicha - así nos quedamos con una serie de problemas de 2 cuerpos a resolver: Júpiter orbita alrededor del Sol, el Satélite inicialmente está en una órbita solar, en algún momento apagamos el Sol y encendemos Júpiter y consideramos el satélite en una órbita hiperbólica alrededor de Júpiter, y cuando el satélite está de nuevo lejos volvemos a considerar que está en el campo gravitatorio del Sol solamente.
Para esta pregunta sólo necesitamos saber dos cosas: la velocidad $\vec{v}_J$ de Júpiter con respecto al Sol durante el sobrevuelo, y el cambio en la velocidad del satélite $\Delta\vec{v}_s$ como resultado del sobrevuelo. Tomaremos lo primero como un hecho y nos preocuparemos sólo por lo segundo. Lo más fácil es pasar al marco de reposo instantáneo de Júpiter, y esperaremos que la interacción ocurra lo suficientemente rápido como para que Júpiter no se mueva demasiado. Con estas suposiciones, el satélite se moverá en una hipérbola alrededor de la masa fija de Júpiter. La desviación cambiará la dirección pero no la magnitud de la velocidad del satélite. Vamos a denotar este cambio por la matriz de rotación $\hat{R}$ . Ya que en el marco de reposo de Júpiter $\vec{v}_s^{IRF}=\vec{v}_s-\vec{v}_J$ que tenemos:
$$\Delta \vec{v} = (\hat{R}-\hat{1})(\vec{v}_s-\vec{v}_J)$$
Lo que da una velocidad final en el marco del Sol como:
$$\vec{v}_s^{\text{final}}=\vec{v}_s+\Delta\vec{v}=\hat{R}\vec{v}_s+(\hat{1}-\hat{R})\vec{v}_J$$
Así que los pasos para encontrar la velocidad final son:
1) Encuentre el ángulo de desviación $D$ del satélite alrededor de una masa puntual estacionaria. Se trata de un problema bien conocido (equivale a la dispersión de Rutherford, por ejemplo).
2) Encontrar una matriz de rotación $\hat{R}$ que gira por el ángulo $D$
3) Calcula la suma dada anteriormente. Está claro que consiste en una versión rotada de la velocidad inicial más la velocidad de Júpiter y luego menos una versión rotada de la velocidad de Júpiter. Así que, aunque se trata de una "suma de vectores" como sospecha OP, no es la primera combinación que se adivina.
Observación: las aproximaciones realizadas aquí equivalen a utilizar un aproximación cónica parcheada que en cada punto consideremos sólo los dos cuerpos más relevantes y resolvamos el problema de los 2 cuerpos. Creo que esto es probablemente correcto para este caso por las razones anteriores.
