Autodualidad de la red de subgrupos de $G\times H$

Question

Dejemos que $G$ y $H$ sean grupos finitos y $\gcd(|G|,|H|)=1$ .

Supongamos que la red de todos los subgrupos de $G\times H$ es autodual. Es el entramado de todos los subgrupos de $G$ ¿autodualidad?

Answer 1

La respuesta es sí. Esto se ve de la siguiente manera:

En primer lugar, digamos que un grupo $G$ tiene un doble $\overline{G}$ (que es otro grupo), si existe una biyección de inversión de orden $\delta\colon L(G) \to L(\overline{G})$ de $L(G)$ la red de subgrupos de $G$ en la red de subgrupos $L(\overline{G})$ de $\overline{G}$ . Los grupos con un dual han sido estudiados por Suzuki y Zacher, y los grupos finitos (incluso localmente finitos) con un dual están esencialmente clasificados. De esta clasificación se deduce que un grupo (localmente) finito con un dual es incluso autodual, es decir, la red de subgrupos es autodual. (Véase el corolario 8.2.5 en el libro de Roland Schmidt Retículas de subgrupos de grupos .)

Por lo tanto, basta con ver que $G$ tiene un dual cuando la red de subgrupos de $G\times H$ es autodual. Sea $\varepsilon\colon L(G\times H) \to L(G\times H)$ sea la dualidad de la red de subgrupos. Entonces $\varepsilon$ induce una biyección de inversión de orden entre los subgrupos de $G$ y los subgrupos de $G\times H$ que contiene $G^{\varepsilon}$ . (Veo $G$ y $H$ como subgrupos de $G\times H$ para que pueda aplicar $\varepsilon$ a $G$ .) Afirmo que $G^{\varepsilon}$ es normal en $G\times H$ . De ello se desprende que el grupo de factores $(G\times H)/G^{\varepsilon}$ es un dual de $G$ .

Para ver que $G^{\varepsilon}$ es normal, primero observe que $G\times H = \langle G^{\varepsilon}, H^{\varepsilon} \rangle$ ya que $G\cap H = 1$ y $\varepsilon$ es una dualidad de la red de subgrupos. Por lo tanto, sólo tenemos que demostrar que $H^{\varepsilon}$ normaliza $G^{\varepsilon}$ . Sea $x\in H^{\varepsilon}$ y que $\varphi$ sea el mapa que envía un subgrupo $U\leq G\times H$ al subgrupo $( ( U^{\varepsilon} )^x )^{ \varepsilon^{-1} }$ . Entonces $\varphi$ es un isomorfismo de red de $L(G\times H)$ sobre sí mismo, y $H^{\varphi}=H$ . Como $G$ y $H$ tienen órdenes coprimos, $G$ es el complemento único de $H$ en $G\times H$ . Así, $G^{\varphi} = G$ También. De ello se desprende que $(G^{\varepsilon})^x = G^{\varepsilon}$ . Como $x\in H^{\varepsilon}$ era arbitraria, esto significa que $H^{\varepsilon}$ normaliza $G^{\varepsilon}$ y así $G^{\varepsilon}$ es normal en $G\times H$ como se ha reclamado.
(Observación: incluso se puede demostrar que $G\times H$ es el producto directo de $G^{\varepsilon}$ y $H^{\varepsilon}$ y que estos subgrupos también tienen orden coprimo. Véase el lema 8.1.8 del libro de Schmidt, del que he tomado el argumento del último párrafo).