Homomorfismo de módulo

Question

Dejemos que $A$ sea un álgebra de Banach con norma $\|.\|_A$ y $X$ sea un espacio de Banach con norma $\|.\|_X$ . Si existe una operación $.:A\times X\to X$ tal que para cualquier $a,b\in A$ y $x,y\in X$ tenemos

1. $(a+b).x=a.x+b.x$ ,
2. $a.(x+y)=a.x+a.y$ ,
3. $(ab).x=a.(b.x)$ ,
4. $\|a.x\|_X\le\|a\|_A\|x\|_X$

entonces $X$ se llama Banach izquierdo $A$ -módulo. Por ejemplo $A$ es un Banach izquierdo $A$ -por su producto algebraico.

Si $X,Y$ son dos Banach izquierdos $A$ -el operador lineal acotado $\phi:X\to Y$ se llama izquierda $A$ -homomorfismo de módulo si $\phi(a.x)=a.\phi(x)$ para cualquier $a\in A$ y $x\in X$ .

Dejemos que $G$ sea un grupo localmente compacto, consideremos el álgebra del grupo de convolución $L^1(G)$ y a la izquierda $L^1(G)$ -módulos $L^P(G)$ para $1< p\le\infty$ . ¿Queda algo de $L^1(G)$ -homomorfismo de módulo de $L^p(G)$ a $L^1(G)$ ?

Answer 1

Cuando $G$ no es compacto, no hay ningún homomorfismo. Véase MR0244764 (39 #6078) Revisado Rieffel, Marc A. Multiplicadores y productos tensoriales de espacios Lp de grupos localmente compactos. Studia Math. 33 1969 7182.