Que $D$ sea un dominio acotado (abierto conectado) en $ \mathbb C$ y asumir que está conectado el complemento de $D$. A continuación, mostrar que $\partial D$ está conectado

Question

Estoy tratando de probar la famosa resultado en Conjunto de puntos de la Topología.

Deje $D$ ser un almacén de dominio (abierto conectado) en $ \mathbb C$ y asumir que el complemento de $D$ está conectado. A continuación, mostrar que $\partial D$ está conectado.

Sé que hay pruebas de que este resultado utilizando el Grupo Fundamental y Topología Algebraica, pero no sé mucho Topología Algebraica, así que estoy tratando de demostrar este resultado usando Elementales de Topología solo. Estoy planeando utilizar el siguiente resultado básico de Punto de ajuste de la Topología:

Deje $(K_i)_{i\in I}$ ser indizada a la familia de la disminución de, conectado, conjuntos compactos en un espacio Topológico X. a Continuación, $B = \bigcap_i K_i$ está conectado.

He definido $K_n$= {$ z \in D : dist (z, \partial D) \leq \frac{1}{n}$}. Ahora, cuando la distancia es una función continua, por tanto, cada una de las $K_n$ es compacto y también de $K_n$ es una disminución de la secuencia. Además, $ \bigcap K_i$=$\partial D$. Así que creo que ahora es suficiente para mostrar que cada una de las $K_i$ está conectado. Yo personalmente creo que cada una de las $K_i$ es la ruta de acceso conectado, pero yo soy incapaz de probar este. Siéntase libre me regañe Si estoy haciendo algo mal aquí. Por favor ayuda con mi idea o dar algunos diferentes a prueba el uso de primaria de la topología de sólo!

Answer 1

Vamos a continuar su enfoque, asumiendo por la contradicción que $K_n$ no está conectado para algunos $n$. Cubierta $K_{4n}$ con un número finito de abiertos bolas de radio $1/(4n)$ y tome un componente conectado a $C$ de la unión de estas bolas. Tenga en cuenta que esta unión $B$ no está conectado, desde un descomposition de $K_n$ produce una descomposición de la $K_{4n}$ e de $B$.

Deje $E_1$ ser el componente conectado de $\partial C$, que es un cerrado de la curva de Jordan. Entonces $E_1$ se encuentra en su totalidad en $D$ o totalmente en $\bar D^c$. Por el Jordan de la curva de teorema, tenemos un discontinuo de la unión de $\Bbb{C}=E_1\cup A_1\cup A_2$ donde $A_1$ $A_2$ están abiertos. Cada uno de los bloques abiertos $A_1,A_2$ contiene puntos de a $\partial D$, de modo que cada uno de ellos contiene puntos de $D$ e de $D^c$. Por lo tanto, si $E_1\subset D$, $D^c$ no está conectado, y si $E_1\subset \bar D^c$ , $D$ no está conectado.

Esta contradicción muestra que $\partial D$ está conectado.

Si desea evitar el uso de la Jordania de la curva de teorema, tienes que probar una versión débil de la misma, para las curvas que son parte de la frontera de un sindicato de bolas del mismo radio.

$\bf{Theorem}$ (débil de la curva de Jordan teorema de los límites de la unión de las bolas): Supongamos que usted tiene una cubierta de plano por $\varepsilon$ bolas, de tal manera que dos de ellos se cruzan si y sólo si sus centros pueden estar conectados por una línea recta que cruza ninguna otra bola de la cubierta. Tome $B$ a ser la unión de un número finito de esto bolas. A continuación, hay un componente conectado de $\partial B$, de tal manera que tenemos un discontinuo de la unión de $\Bbb{R}^2= A_1\cup A_2\cup \partial B$ donde $A_1$ $A_2$ están abiertos, y $B\subset A_1$.