Resolver $y’ = 1 + y^2$

Question

Déjalo:

$$y’ = 1 + y^2 \\ y(0) = 0 $$

Necesitamos encontrar un intervalo máximo $(a,b)$ para que el problema con las condiciones iniciales, tenga una solución.

Por lo tanto, creo que tengo que encontrar una solución, allí puedo mirar el intervalo de validez.

Sin embargo, no tengo ni siquiera una dirección de cómo resolver esta ecuación. Es una ecuación no lineal. No está separada, no se puede usar la constante de integración, no es la forma Bernoulli, no veo cómo la sustitución puede ayudarme...

Si pudiera adivinar diría que es algo de la dirección:

$$\text{d}y = (1+y^2) \text{d}x $$

Pero $y$ Es una función de $x$ Así que no puedo tomar la integral de ambas partes...

¿Puede alguien darme una pista?

Gracias.

Answer 1

Es claramente una variable separable DE.

Una pista: Reescríbalo como $$\frac{\text{d}y}{1+y^2}=\text{d}x$$

Ahora, integra ambos lados.

Answer 2

Como $x$ no aparece explícitamente (la ecuación es autónoma), podemos resolver para $x(y)$ en lugar de $y(x)$ y eso nos da

$$\frac1{x'(y)}=y^2+1$$ o

$$x'(y)=\dfrac1{1+y^2}$$ con la condición inicial $x(0)=0.$

$$x(y)=\arctan(y)\to y(x)=\tan(x).$$

Answer 3

Tenemos $$\frac{dy}{dx}=1+y^2$$ Utilizando la regla de separación de variables, cuando tenemos una ecuación diferencial lineal de primer orden de la forma $\frac{dy}{dx}=g(y)f(x)$ podemos escribir $$\int\frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx$$ Así que en nuestro caso podemos escribir $$\int\frac{1}{1+y^2}dy=\int 1 dx$$ y la integral del lado izquierdo es $\arctan y$ .