Algunos teoremas dan mucho más de lo que crees que deberían: una hipótesis débil es suficiente para demostrar un resultado fuerte. Por supuesto, casi siempre hay mucha maquinaria oculta bajo la línea de flotación. Estos teoremas pueden ser excelentes puntos de partida para que alguien se familiarice con un tema nuevo: cuando el resultado sorprendente deja de serlo, puedes sentir que lo has conseguido.
Veamos algunos ejemplos.
Descenso fielmente plano:
Te dice que puedes construir gavillas cuasicoherentes localmente en una cubierta fielmente plana. Esto es bastante sorprendente, porque las láminas cuasicoherentes son, a priori, sólo locales de Zariski. Así que para especificar una gavilla se necesitan muchos menos datos de lo que parece inicialmente.
Mi "ejemplo canónico" es el de Banach-Steinhaus en el análisis funcional: que, en espacios topológicos agradables localmente convexos (Banach servirá), débilmente acotado (o puntualmente acotado) implica acotado.
La maquinaria es bastante técnica, y suele implicar el teorema de la categoría de Baire, pero el resultado es muy sencillo y muy sorprendente. Un punto especial que me gusta de esto es que cuando se comparan los espacios vectoriales normados con los espacios de Banach, entonces el proceso de añadiendo más cosas (es decir, la finalización) en realidad limita las cosas que pueden salir mal. Mi intuición es que si se quiere limitar el mal comportamiento, hay que trabajar en espacios más pequeños que más grandes.
Teorema de Kuratowski es un gran ejemplo de un teorema de la forma "los únicos obstáculos son los obvios", que siempre son divertidos de aprender.
No me resisto a mencionar el teorema de Cayley-Hamilton. Algo intuitivamente correcto resulta ser también matemáticamente correcto, ¡pero por razones no intuitivas! Todavía lo recuerdo, su demostración (me refiero aquí a la que utiliza la correspondencia entre operación y representación) funcionó desde mi perspectiva como una magia, clara, sencilla, no trivial y hermosa, y además me hizo interesarme por el álgebra, más allá de la clase de álgebra lineal para estudiantes de primer curso. Fue un momento agradable...
Teorema de Tychonoff - producto de cualquier La colección de espacios compactos sigue siendo compacta, es sorprendente e increíblemente útil.
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Me gusta la referencia a Dire straits ;)
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Gracias. Tuve la idea de la pregunta hace semanas, sólo tenía que conseguir la escansión correcta.
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Es hora de poner esto en la cama. (Es decir, hora de cerrarlo, considero.)
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¿Qué ocurrió entre noviembre y junio para que esta pregunta dejara de ser relevante?
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Wow Andrew. Normalmente no me sorprendo cuando te veo en la lista de cerradores de una pregunta (y la mayoría de las veces está ahí por una buena razón), pero no esperaba que fueras tan lejos, sobre todo dejándonos el misterio de cómo tu pregunta de repente dejó de ser relevante. ¿Tenías la intención de utilizar la lista de teoremas para nada, por ejemplo, una charla popular? En caso afirmativo, ¿qué utilizó y cómo se asimiló? Pero incluso en ese caso, no estoy seguro de que la pregunta deje de ser relevante sólo porque no lo es para ti...
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Darij: Hilos meta vagamente relevantes: tea.mathoverflow.net/discussion/210 y tea.mathoverflow.net/discussion/459 (Si usted realmente Si quieres discutir esto, inicia un hilo en meta sobre ello)