Teoremas a cambio de nada (y las pruebas gratis)

Question

Algunos teoremas dan mucho más de lo que crees que deberían: una hipótesis débil es suficiente para demostrar un resultado fuerte. Por supuesto, casi siempre hay mucha maquinaria oculta bajo la línea de flotación. Estos teoremas pueden ser excelentes puntos de partida para que alguien se familiarice con un tema nuevo: cuando el resultado sorprendente deja de serlo, puedes sentir que lo has conseguido.

Veamos algunos ejemplos.

Answer 1

Todo espacio métrico compacto es (a menos que esté vacío) un cociente topológico del conjunto de Cantor.

Qué, cada ¿espacio métrico compacto? Sí, todo espacio métrico compacto.

Answer 2

Para mí, el teorema de que todo subgrupo de un grupo libre es libre es un buen ejemplo de ello: parece venir gratis de los espacios de cobertura y del grupo fundamental, pero en realidad toda la maquinaria pesada se traslada al subsuelo.

Answer 3

Teorema de Wedderburn: "Todo anillo de división finito es un campo". Esto es realmente sorprendente si se piensa en los cuaterniones: no hay nada análogo en el caso finito.

Entonces, por supuesto, la clasificación de los campos finitos es también muy hermosa: exactamente uno con p^n elementos (p un primo y n un entero) y ningún otro.

Y como ventaja, el teorema de Wedderburn es uno de los más nítidos de todas las matemáticas: siete palabras (o seis y media si se sustituye el anillo de división por el campo inclinado).

Answer 4

¿No son casi todos los teoremas de las matemáticas un ejemplo de teorema "gratuito"? Se definen los números naturales y se deduce que cada uno de ellos es una suma de cuatro cuadrados; se define una noción de función continua y de espacio euclidiano y se deduce el teorema del punto fijo de Brouwer. Seguramente, que ¡es increíble!

Dicho esto, he aquí un puñado de ejemplos que se encuentran más cerca de la superficie:

1. Las funciones complejas diferenciables son infinitamente diferenciables y, de hecho, analíticas.

2. Una función de varias variables complejas que es holomorfa en cada variable es holomorfa en todas ellas (si te recuerda al 'teorema' de que una función que es continua en cada variable por separado es continua... pues debería). Es decir Teorema de Hartogs .

3. Cualquier límite en el término de error en el teorema de los números primos de la forma $\psi(x)=x+O_{\varepsilon}(x^{a+\varepsilon})$ implica el límite $\psi(x)=x+O(x^a \log x)$ .

4. Moralmente relacionado con (3) está el truco de poder tensorial El primer ejemplo ampliamente conocido es quizás la prueba de Lema de Cotlar-Stein . Uno de mis ejemplos favoritos es el lema 2.1 de un artículo de Katz y Tao sobre la conjetura de Kakeya .

Answer 5

Hace un par de semanas tuve esa sensación de estar recibiendo más de lo debido al leer el primer capítulo de la Introducción a la Probabilidad Geométrica de Rota y Klain. En concreto, conocía la derivación habitual de la probabilidad de La aguja de Buffon cruzando una línea. Así que fue sorprendente leer la solución a un problema más difícil, El fideo de Buffon que se resuelve apelando a un argumento de simetría general aparentemente mucho más sencillo. Y como describes, forma una especie de tráiler para atraerte al resto del tema.