Definiciones equivalentes de los módulos de Verma

Question

Esta es una pregunta bastante básica. Estuve leyendo unas notas sobre teoría de la representación geométrica de Gaitsgory y su definición de módulo de Verma es la siguiente: Sea $ \lambda $ sea un peso de $ \mathfrak{g}$ . El módulo Verma $M_\lambda \in \mathfrak{g} - mod$ se define de forma que para cualquier objeto $ M \in \mathfrak{g} -mod$ tenemos : $Hom_\mathfrak{g} (M_\lambda , M) = Hom_\mathfrak{b} (\mathbb{C}^\lambda , M)$ . En el sitio web $\mathfrak{b}$ es la subálgebra de Borel y $\mathbb{C}^\lambda $ es el unidimensional $\mathfrak{b}$ módulo.

La definición de módulo de Verma a la que estoy acostumbrado es que definimos $M_\lambda := U(\mathfrak{g}) \otimes_{U ( \mathfrak{b} )} \mathbb{C}^\lambda$ .

Gaitsgory dice que su definición implica esta, pero no da ninguna prueba y no puedo ver cómo debería ser. Mi primer pensamiento fue que tal vez debería jugar con algunos functores adjuntos, pero realmente no veo cómo proceder. Una respuesta estaría bien, pero tal vez es mucho para escribir, así que me encantaría incluso una pista para empezar. Gracias.

Answer 1

Las dos definiciones se ven equivalentes después de considerar la construcción universal del producto tensorial.

Partiendo de la definición de producto tensorial, vemos que el módulo de Verma es el más general $U(\mathfrak{b})$ -mapa bilineal que se proyecta hacia abajo $U(\mathfrak{g})$ y $\mathbb{C}^{\lambda}$ . Esto equivale a forzar el $U(\mathfrak{g})$ -morfismos lineales de $M_{\lambda}$ para que coincida con el $U(\mathfrak{b})$ -morfismos lineales de $\mathbb{C}^{\lambda}$ que es la definición de Gaitsgory.

Por cierto, creo que es importante declarar la acción de $\mathfrak{b}$ en $\mathbb{C}^{\lambda}$ porque esta es la parte concreta de la definición.

Answer 2

Permítanme añadir algo más a la respuesta de pre-kidney, que para mí no es más que la explicación de la adjunción tensor-hom con palabras; algebraicamente, se puede expresar en las siguientes líneas. (Nótese que identifico $\mathfrak{g}-mod$ con $U(\mathfrak{g})-mod$ y considerar los Hom-espacios en la última categoría)

Dejemos que $M(\lambda):= U(\mathfrak{g})\otimes_{U(\mathfrak{b})}\mathbb{C}_\lambda$ tenemos $$ \begin{array}{rcl} Hom_{U(\mathfrak{g})}(M(\lambda),M) &=& Hom_{U(\mathfrak{g})}(U(\mathfrak{g})\otimes_{U(\mathfrak{b})}\mathbb{C}_\lambda,M)\\ &=& Hom_{U(\mathfrak{b})}(\mathbb{C}_\lambda, Hom_{U(\mathfrak{g})}(U(\mathfrak{g}),M)) \\ &=& Hom_{U(\mathfrak{b})}(\mathbb{C}_\lambda, M) \end{array} $$ Por el contrario, en la definición de Gaitsgory, la igualdad tiene una "restricción" oculta $M$ a un $U(\mathfrak{b})$ -en el lado derecho, que está dado algebraicamente por $Hom_{U(\mathfrak{g})}(U(\mathfrak{g}),M)$ (ya que restringir es el adjunto de inducir), por lo que la lectura de las tres líneas anteriores al revés muestra que $M_\lambda$ es de hecho $M(\lambda)$ .