Probabilidad de programación pirata

Question

Sparrow está molesto. La LWPSA (Large Wooden Pirate Ship Association) recientemente aprobó algunas normas nuevas. Para garantizar que no haya dos piratas aterrorizando el mar al mismo tiempo, todos los barcos piratas deben registrarse con antelación para saber exactamente cuándo van a patrullar los mares. Sparrow se siente frustrado por las nuevas regulaciones y envía a Will a encargarse del registro en su lugar.

Will ve que hay 30 horarios posibles para inscribirse (ninguno de estos horarios entra en conflicto con entre sí). En concreto, cada día de la semana (de lunes a viernes) tiene 6 franjas horarias disponibles. Will no quiere que el equipo tenga demasiado trabajo, así que decide seleccionar 7 de las 30 franjas horarias uniformemente al azar, y se inscribe en ellas.

Si todas las franjas horarias tienen la misma probabilidad de ser elegidas (y ninguna de ellas se solapa), ¿cuál es la probabilidad de que el Ruby Perl (el barco de Sparrow) acabe patrullando los mares al menos una vez cada día de de lunes a viernes (ambos inclusive).

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Realmente estoy luchando con esta pregunta. Estaba pensando que $|\Omega| = \binom{30}{7}$ y como sabemos que hay 6 franjas horarias al día podríamos hacer $\binom{6}{1} \times 5$ con una selección sobrante. No sé muy bien qué hacer a partir de aquí.

Answer 1

Como tiene que haber una patrulla cada día, eso deja 2 patrullas extra para distribuir en cualquier día. Pensaremos en dos casos:

1. Ambas patrullas ocurren el mismo día. En este caso, hay 5 formas de elegir qué día tiene 3 patrullas, y $\binom{6}{3}=20$ formas de elegir patrullas ese día. Los días restantes tienen $6^4$ posibles combinaciones. Total: $5\cdot 20 \cdot 6^4$

2. Las patrullas duplicadas se realizan en días diferentes. Entonces hay $\binom{5}{2}=10$ formas de elegir los días en los que habrá 2 patrullas, y para cada una de esas patrullas, $\binom{6}{2}=15$ formas de elegir las patrullas. El resto de las patrullas tienen $6^3$ formas de elegir las patrullas. Total: $10 \cdot 15^2 \cdot 6^3$ .

Total de dos casos: $5\cdot 20 \cdot 6^4+10\cdot15^2\cdot6^3$ . Divídelo por $\binom{30}{7}$ para obtener la probabilidad.

Answer 2

Pista: Es más fácil calcular la probabilidad de que no patrulle todos los días. ¿Cuántas formas hay de patrullar sin patrullar el lunes? Multiplica por cinco, pero fíjate en que has contado dos veces los casos en los que no patrulla dos días. Piensa en la inclusión-exclusión.

Answer 3

Si se cubren los cinco días, tenemos dos casos (a) Las dos patrullas extra caen en el mismo día, o (b) Las dos patrullas extra caen en días diferentes.

Para contar el número de formas en que podría darse el caso (a), empezamos con $\binom51$ para elegir el día con $3$ patrullas, entonces multiplique por $\binom63$ para elegir qué tres patrullas, y por $\binom61^4$ para elegir patrullas individuales en los otros cuatro días.

¿Puedes ver cómo funcionaría un cálculo similar para el caso (b)?