Proceso puntual de Poisson en 2D con fronteras reflectantes

Question

Considere un proceso puntual $\{(X_n,T_n)\}$ en un avión $[0,1/\lambda]\times\mathbf R^+$ generado a partir de un proceso puntual de Poisson $\{T_n\}$ con tasa $\lambda$ en $\mathbf R^+$ (es decir $(T_n-T_{n-1})$ tiene una distribución exponencial iid $\sim\lambda\exp(-\lambda T)$ ) de la siguiente manera:

$X_0=T_0=0$ y los límites en $0$ y $1/\lambda$ están reflejando. El $X_n$ la dirección del paso no cambia hasta llegar a la frontera (o se puede considerar un paseo aleatorio insesgado como alternativa), El tamaño del paso viene dado por

1. $X_n = T_n-T_{n-1}$ o
2. $X_n$ se distribuye uniformemente en $[0,T_n-T_{n-1}]$ o
3. $X_n$ se distribuye exponencialmente con media $T_n-T_{n-1}$

P: ¿Es este proceso puntual 2D poissoniano en cada uno de los tres casos? Si es así, ¿es homogéneo?

Answer 1

En todos los casos denoto la medida aleatoria 2d por $\pi$ .

1) no, no tenemos independencia de incremento. Tome dos eventos $A=(\pi([0,1/\lambda) \times [\frac{2}{4\lambda},\frac{3}{4\lambda}) = 1), B=(\pi([\frac{3}{4\lambda},\frac{1}{\lambda})\times [\frac{3}{4\lambda},\frac{1}{\lambda} = 1)$ . Claramente $P(A),P(B)>0$ . Como las dos cajas son disjuntas, deberíamos tener $P(A\cap B)=P(A)P(B)>0$ . Pero bajo el evento $A$ el proceso T tiene un salto en $[\frac{2}{4\lambda},\frac{3}{4\lambda})$ Así que si $T$ tuvo otro salto en $[\frac{3}{4\lambda},\frac{1}{\lambda})$ el incremento de $T$ sería menor que $\frac{1}{2\lambda}$ y, por tanto, su correspondiente $X$ estaría limitada por $\frac{1}{2\lambda}$ . Por lo tanto, $P(A\cap B)=0$

2) no, por la misma razón que en 1). Tome dos eventos $A=(\pi([0,1/\lambda) \times [\frac{2}{4\lambda},\frac{3}{4\lambda}) = 1), B=(\pi([\frac{3}{4\lambda},\frac{1}{\lambda})\times [\frac{3}{4\lambda},\frac{1}{\lambda} = 1)$ . Claramente $P(A),P(B)>0$ . Como las dos cajas son disjuntas, deberíamos tener $P(A\cap B)=P(A)P(B)>0$ . Pero bajo el evento $A$ el proceso T tiene un salto en $[\frac{2}{4\lambda},\frac{3}{4\lambda})$ Así que si $T$ tuvo otro salto en $[\frac{3}{4\lambda},\frac{1}{\lambda})$ el incremento de $T$ sería menor que $\frac{1}{2\lambda}$ y, por tanto, su correspondiente $X$ estaría limitada por $\frac{1}{2\lambda}$ . Por lo tanto, $P(A\cap B)=0$

3) No, no es así. Análogo al punto 2). Te dejaré los cálculos exactos, pero con los mismos eventos A,B que en 2) ves que $P(B)$ será menor dado $A$ porque el $X$ sorteado en el evento $B$ se extrae de una distribución exponencial con media pequeña.