Idempotente, conmutativo e invertible

Question

¿Existe alguna clase y estructura matemática en la que existan muchos objetos que sean distintos, invertibles, conmutativos e idempotentes? Como un conjunto de interruptores de palanca sin histéresis, de modo que el estado no depende del orden en que se accionaron los interruptores (y al pulsar un interruptor que ya está abajo, o viceversa, no se altera más).

Mi motivación es que esto se relaciona con el sistema de entorno de "módulos" en Unix, donde son posibles infinitos módulos, y cada uno puede ser cargado o descargado individualmente. Desgraciadamente, este sistema de módulos es propenso a errores en los que depende inesperadamente del orden en que se cargan los diferentes módulos (y la descarga o recarga de módulos tampoco es fiable), ya que cada uno de los módulos está implementado por scripts de shell, es decir, secuencias de instrucciones que en general no son conmutativas, idempotentes ni invertibles. (Creo que incluso se permite que un módulo cargue otro módulo, así que la analogía del interruptor de palanca no es perfecta )

Editar:

¿O es un concepto demasiado fuerte? Tal vez en su lugar necesito que haya dos operaciones, como subir y bajar (o sumar y restar, o cargar y descargar), ya que voltear abajo el interruptor A no se realiza al accionar arriba algún otro interruptor A -1 ?

Supongo que querría propiedades como:

$x+y=y+x$

$x+x=x$

$x-x=0$

$0-x=0$

Answer 1

Se trata de un interesante problema de modelización. Supongamos primero que sólo hay un interruptor. Un posible modelo podría ser el siguiente autómata:

$\hskip 20pt$

donde la letra $x$ representa el subir acción y $\bar x$ representa el baja acción. Nótese que, en términos de semigrupos, esto conduce a las relaciones $x\bar x = \bar x \bar x = \bar x$ y $\bar xx =xx = x$ que definen un semigrupo idempotente, pero no conmutativo. Además $\bar x$ no es un inverso de $x$ .

Si quiere un modelo con $n$ de los interruptores, sólo hay que tomar el producto directo de $n$ copias de este autómata.

Answer 2

Supongamos que $a$ es idempotente e invertible. Entonces $a^2=a$ por definición, de modo que si $b$ es un inverso de $a$ entonces podemos aplicar $b$ en ambos lados para obtener que $$ a=a(ab)=a^2b=ab, $$ para que $a$ debe ser la identidad.

(No he utilizado la conmutatividad, pero sí la asociatividad para reordenar los paréntesis. No estoy seguro de que mi argumento funcione sin asumir la asociatividad).

Por lo tanto, cualquier operación de este tipo debe ser la operación de identidad (es decir, la que deja todo inalterado).

Esa es la explicación matemática, pero también se puede formular sin usar las matemáticas. Si tienes una operación que no cambia nada la segunda vez que la aplicas, entonces si tienes una forma de deshacer esa operación significa que tampoco puede haber hecho nada la primera vez.

Answer 3

Si he entendido bien su pregunta, no. Al menos no de forma trivial: un conjunto de un punto con la única operación posible lo haría.

Si cada elemento fuera invertible e idempotente, dado cualquier $x$ de $x^2=x$ operamos por $x^{-1}$ , obteniendo $x=1$ el elemento de identidad. Por lo tanto, todo su conjunto es sólo $\{1\}$ .

EDITAR: Como algunos han señalado, he asumido instintivamente la asociatividad, que usted no ha exigido. Si no requieres asociatividad, esta respuesta no te servirá. Si lo haces, sí.

Answer 4

Es posible tener un groupoide idempotente y conmutativo con identidad, y que cada elemento sea invertible.

Un ejemplo sería el de tres elementos $\{1,a,b\}$ , donde $1$ es la identidad, $aa=a$ , $bb=b$ y $ab=ba=1$ . No es asociativo ya que $$a(ab)=a1=a \neq 1=ab=(aa)b.$$ No es posible (en el caso no trivial, es decir, con más de un elemento) si también se quiere la asociatividad, como demuestran las respuestas de Randall y pre-kidney.

Si quieres tener ese cuarto axioma tuyo ( $0-x=0$ que con la notación multiplicativa se convierte en $1x^{-1}=1$ ), entonces de nuevo, se obtiene un groupoide trivial, ya que se deduce que $x^{-1}=1$ para todos $x$ , dando lugar a $x=x1=1$ .