Contribuciones de potencial eléctrico para una carga de prueba en una disposición cuadrada de cargas

Question

Me han encargado el siguiente ejercicio:

Las cargas eléctricas de $+q$ se fijan en las cuatro esquinas de un cuadrado de de lado a. (i) ¿Cuál es el potencial eléctrico en el centro de este cuadrado? (ii) Si se sustituyen dos de las cargas por cargas de $-q$ ¿Qué es ahora es el potencial en el centro del cuadrado? (iii) ¿Importa para el potencial eléctrico qué dos cargas se sustituyen? (iv) ¿Importa para el campo eléctrico en el centro cuáles son las dos cargas sustituidas?

Y creo que este ejercicio requiere que entienda cómo se producen las contribuciones de potencial eléctrico con las diferentes firmas de carga.

Para (i), creo que el potencial eléctrico en el centro del cuadrado debería ser máximo, ya que ninguna de las contribuciones de potencial eléctrico de cada una de las cargas debería interferir entre sí. Sin embargo, para (ii), el hecho de que el potencial aquí puede cambiar de signo desafía mis conocimientos aún más, y no puedo averiguar qué sucederá.

Necesito un poco de orientación aquí.

Answer 1

El potencial electrostático en el centro del cuadrado viene dado por la superposición de los potenciales electrostáticos de las cargas en las cuatro esquinas que tienen la distancia $r=d/2$ desde el centro donde $d$ es la diagonal del cuadrado. Así, para las cargas positivas $=q$ en las esquinas, el potencial en el centro es $$\Phi=\frac {4q}{4\pi \epsilon_0 r} \tag 1$$ En el caso de que haya dos cargas positivas y 2 negativas el potencial es $$\Phi=0$$ independientemente de su ubicación en las esquinas. Sí importa el campo eléctrico en el centro donde se encuentran las cargas, porque el campo eléctrico es un vector, el gradiente negativo del potencial.