Evaluar el límite de integración ...

Question

Evaluar : $$\lim_{n \to \infty} \int_0^{\sqrt{n}} \left (1-x^2/n \right)^n \,dx$$

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Intento por sustitución $x/{\sqrt{n}}=\sin x$ que sigue por la función Beta obtener $\frac{\sqrt{n\pi} \,n!}{2 \Gamma(n+1+\frac{1}{2})}$ . No te pongas ninguna forma cerrada .

Gracias por ayudarme.

Answer 1

El teorema de convergencia monótona se aplica para demostrar que

$\lim_{n \to \infty} \int_0^{\sqrt{n}} \left (1-x^2/n \right)^n \,dx=\lim_{n \to \infty} \int_0^{\infty} \left (\chi_{[0,\sqrt n]}(1-x^2/n \right)^n )\,dx=\int_0^{\infty} \left( \lim_{n \to \infty} \chi_{[0,\sqrt n]}(x)\cdot(1-x^2/n \right)^n )\,dx=\int_0^{\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt \pi}{2}.$