Calcular los límites sin la regla de L'Hospital

Question

Preguntas:

(A) Calcule

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cot x}{2x - \pi}$$

(B) Calcula

$$\lim_{x ~\to~0^{+}} x^{3}e^{\frac{1}{x}}$$

sin utilizar la regla de L'Hospital.

Intento de solución:

(A)

Utilizando la definición de $\cot x$ da:

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cot x}{2x - \pi} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{2x - \pi} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\cos x}{2x - \pi}$$

Como el primer término resultará ser 1, sigo sin él y haciendo la sustitución $y = x - \frac{\pi}{2}$ así como el hecho de que $\cos x = \cos (-x)$ :

$$= \lim_{y \to 0} \frac{\cos (y+\frac{\pi}{2})}{2y} = \lim_{y \to 0} \frac{\cos (-y-\frac{\pi}{2})}{2y}$$

Utilizando la fórmula de la resta para el coseno da:

$$ = \lim_{y \to 0} \frac{\cos(-y) \cos \frac{\pi}{2} + \sin(-y) \sin{\frac{\pi}{2}}}{2y} = \lim_{y \to 0} \frac{\sin(-y)}{2y} =$$ $$ \lim_{y \to 0} \frac{- \sin(y)}{2y} = -\frac{1}{2}\lim_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{y} = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}$$

¿Le parece razonable?

(B)

Sé que el límite no existe (se "convierte" en $\infty$ ). Me imagino que $e^{x}$ es una función continua con respecto a x y así:

$$\lim_{x ~\to~0^{+}} x^{3}e^{\frac{1}{x}} = \lim_{x ~\to~0^{+}} x^{3} \cdot \lim_{x ~\to~0^{+}} e^{\frac{1}{x}} = 0 \cdot e^{\lim_{x ~\to~0^{+}} \frac{1}{x}} $$

No estoy seguro de dónde seguir a partir de aquí. ¿Será un argumento basado en $\frac{1}{x}$ creciendo más rápido hacia el infinito que $x^3$ se encoge hacia $0$ ? ¿O hay algún truco algebraico inteligente que se pueda utilizar?

En muchos casos, el límite parece dar una expresión "cero por infinito", pero después de averiguar los pasos secretos se puede cambiar a algo con lo que se pueda calcular el límite. ¿Cómo saber cuándo hay que dejar de intentarlo y declarar que el límite no existe?

Answer 1

Tu primer cálculo se ve bien por lo que veo.

No se puede escribir $$\lim_{x\to0^+}x^3e^{1/x}=\lim_{x\to0^+}x^3\cdot\lim_{x\to0^+}e^{1/x}$$ porque el límite de un producto sólo debe decirse que es igual al producto de los límites cuando existen los tres límites. En general, uno o ambos límites de la derecha podrían no existir y, sin embargo, el límite de la izquierda podría seguir existiendo. Puede ser útil dejar que $z=1/x$ y observe que $$\lim_{x\to0^+}x^3e^{1/x}=\lim_{z\to\infty}\frac{e^z}{z^3}$$ Entonces, ¿puede demostrar que para grandes $z$ , $e^z>cz^4$ ? Un método es

• demostrar que $e^x>1$ para que sea lo suficientemente grande $x$
• muestran que para algunos $x_0$ , $e^{x_0}>x_0$ y como ya hemos establecido que $e^x$ tiene una derivada mayor que $x$ se deduce que para un tamaño suficientemente grande $x$ , $e^x>x$
• repetir para mostrar $e^x>\frac{1}{2}x^2$
• repetir para mostrar $e^x>\frac{1}{6}x^3$
• repetir para mostrar $e^x>\frac{1}{24}x^4$

Así que $$\lim_{x\to0^+}x^3e^{1/x}=\lim_{z\to\infty}\frac{e^z}{z^3}>\lim_{z\to\infty}\frac{cz^4}{z^3}=\infty$$

Answer 2

Primer límite: su método es razonable, pero demasiado largo. I'do the substitution $x-\pi/2=t$ por lo que tengo que calcular $$ \lim_{t\to0}\frac{\cot(t+\pi/2)}{2t}=\lim_{t\to0}\frac{-\tan t}{2t} =\lim_{t\to0}\frac{-1}{2\cos t}\frac{\sin t}{t} $$

Segundo límite: hacer la sustitución $x=1/t$ , por lo que hay que calcular $$ \lim_{t\to\infty}\frac{e^t}{t^3}= \lim_{t\to\infty}\frac{1}{27}\left(\frac{e^{t/3}}{t/3}\right)^{\!3} $$ por lo que se reduce al conocido límite $$ \lim_{u\to\infty}\frac{e^u}{u} $$ Por definición, $$ e^u=\sum_{n\ge0}\frac{u^n}{n!} $$ así que $e^u>u^2/2$ para $u>0$ así, para $u>0$ , $$ \frac{e^u}{u}>\frac{u^2/2}{u}=\frac{u}{2} $$ y finalmente $$ \lim_{u\to\infty}\frac{e^u}{u}=\infty $$

Answer 3

Para A. Considerar $$\begin{equation*} \frac{1}{\sin x}\frac{\cos x}{2x-\pi }=\frac{1}{2\sin x}\frac{\cos x-\cos \frac{\pi }{2}}{x-\frac{\pi }{2}} \end{equation*}$$ ¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 4

Para B: Con el análisis asintótico:

Establecer $u=\dfrac1x$ . Tenemos: $$\lim_{x \to 0^{+}} x^{3}e^{\frac{1}{x}} =\lim_{u\to+\infty}\frac{\mathrm e^u}{u^3}=+\infty$$ ya que cualquier monomio $u^ k=_{+\infty}o(\mathrm e^u)$

Answer 5

A Para demostrar $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 1$ sólo hay que mirar el cuña de un círculo y observa que el arco y la altura son casi iguales. Con un cambio adecuado de ángulos se puede obtener

Creo que en sus casos podría ser útil que $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x }{x} =1$