Ahora estoy trabajando en Integración Compleja, y estoy con el Teorema de Cauchy para Dominios Simplemente Conectados.
Tengo un problema con una simple pregunta. Se trata de la integral de una función sobre una trayectoria suave a trozos de tipo rectangular en el Plano Complejo.
La pregunta es la siguiente:
Dado un rectángulo $R$ con vértices: $(-2-i),(2-i),(2+i),(-2+i)$ y $z_0=5i$ . ¿Cuál es el valor de $$\int _{ \partial R }^{ }{ \frac { 1 }{ z-{ z }_{ 0 } } dz } $$
La respuesta proporcionada es la siguiente:
Como $z_0$ no está contenida en $R$ podemos encontrar un disco $D$ (por ejemplo $\left| z \right| =\sqrt { 5 } $ ) que contiene $R$ pero no $z_0$ y verificamos que $f(z) = \frac { 1 }{ z-{ z }_{ 0 } }$ es analítico en $D$ . Además, como $\partial R$ es una curva suave y cerrada a trozos en $D$ , por Teorema de Cauchy para dominios simplemente conectados, $$\int _{ \partial R }^{ }{ \frac { 1 }{ z-{ z }_{ 0 } } dz } = 0$$
No tengo problemas con la respuesta a la pregunta, pero cuando intenté proceder directamente (es decir por el método de la definición directa ) evaluándolo por mi cuenta, llegué a una expresión integral que no pude resolver.
Lo que he hecho es lo siguiente:
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He definido $f: \mathbb{C}\setminus \{ { z }_{ 0 }\} \rightarrow \mathbb{C} \setminus \{ { z }_{ 0 }\} $ con $z\mapsto f(z)=\frac { 1 }{ z-{ z }_{ 0 } } $ ,
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He definido la parametrización de mi trayectoria sobre la que integrar, es decir, el círculo $\left| z \right| =\sqrt { 5 } $ , que dio: $\gamma (t)=\sqrt { 5 } { e }^{ it }$ con $0\le t\le 2\pi $ (también verificando efectivamente que $z_0$ no es un punto de esta curva),
Así que lo he hecho:
$$\int _{ \partial R }^{ }{ \frac { 1 }{ z-{ z }_{ 0 } } dz } = \int _{ \gamma }^{ }{ \frac { 1 }{ z-{ z }_{ 0 } } dz } = \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ [f\circ \gamma (t)]{ \gamma }^{ \prime }(t)dt }\quad (1)$$
Entonces,
$$ f\circ \gamma (t)=\frac { 1 }{ \sqrt { 5 } { e }^{ it }-5i } =(...)=\frac { \sqrt { 5 } }{ { e }^{ it }-\sqrt { 5 } i } $$
Insertando la expresión anterior en la integral, tenemos,
$$ (1)\Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \frac { \sqrt { 5 } }{ { e }^{ it }-\sqrt { 5 } i } \sqrt { 5 } i{ e }^{ it }dt } $$
$$ (...) $$
$$ (1)\Leftrightarrow 5\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \frac { i-{ e }^{ it } }{ 5+{ e }^{ 2it } } dt } $$
He omitido los cálculos aritméticos porque podemos proceder por muchas otras vías entre los pasos que he mencionado.
Quisiera que me indicaran cómo puedo resolver -si es posible- esta última expresión integral.
