Disculpas si no lo he explicado bien en el título. Entiendo cómo progresamos desde (1) hacia abajo, pero no entiendo cómo utilizar los coeficientes de EQ 5 para demostrar las Identidades de Newton.
Dejemos que $a_1,....,a_N$ sea $N$ elementos pares diferentes en un campo, y que \begin{equation} p(x) = \prod_{u=1}^N (1-xa_u) \tag{1} \end{equation} Denotando la derivada formal de $p$ por $p'$ la derivada (formal) del logaritmo de $p$ viene dada por \begin{equation} \frac{p'(x)}{p(x)} = -\sum_{u=1}^N \frac{a_u}{1-xa_u} \tag{2} \end{equation} y así \begin{equation} \frac{xp'(x)}{p(x)} = -\sum_{u=1}^N \frac{xa_u}{1-xa_u} = -\sum_{n=0}^\infty x^n S_n \tag{3} \end{equation} donde \begin{equation} S_n = \sum_{u=1}^N a_{u}^n , n = 1,2,....., \tag{4} \end{equation} $i.e.$
\begin{equation} xp'(x) = -p(x)(\sum_{n=0}^\infty x^n S_n) \tag{5} \end{equation} escribir \begin{equation} p(x) = \sum_{n=0}^N x^n (-1)^n \sigma_{n} \tag{6} \end{equation} donde $\sigma_0 = 1$ y donde los coeficientes $\sigma_n$ para $n \geq 1$ son las funciones simétricas de las raíces. Tenemos \begin{equation} \sigma_1 = \sum_{u=1}^N a_u \end{equation} \begin{equation} \sigma_2 = \sum_{u_1 < u_2}^N a_{u_1}a_{u_2} \tag{7} \end{equation} \begin{equation} \sigma_3 = \sum_{u_1 < u_2 < u_3}^N a_{u_1}a_{u_2} a_{u_3} \end{equation} Comparando los coeficientes de $x^n$ en $(5)$ , demostrar las identidades de Newton \begin{equation} r\sigma_r = \sum_{i+j=r} \sigma_i \lambda_j \end{equation}