Ingeniería inversa a partir de la suma de dígitos

Question

Esta pregunta es sobre sumas de dígitos de un número.

Dado que la suma de dígitos de $19 = 1+9 = 10$ .

Sin embargo, ¿hay alguna manera de que, dado $10$ podemos salir con $19$ ?

En este caso, suponemos que $19$ es el menor número posible que se puede aplicar para conseguir la suma de $10$ .

Otro ejemplo será la suma de dígitos para $79 = 16$ .

Dado el número $16$ ¿Cómo podemos obtener el número $79$ , dado $79$ es el menor número posible para lograr la suma de $16$ ?

Gracias.

Answer 1

No creo que pueda poner esto en una fórmula (te contestaré si se me ocurre una sencilla), pero la forma en que yo resolvería un problema como éste es simplemente pensándolo bien.

Tomemos $10$ como ejemplo. Aquí están todas las combinaciones posibles de números enteros positivos de un solo dígito que suman $10$ :

• $1, 9$
• $2, 8$
• $3, 7$
• $4, 6$
• $5, 5$

Recuerda que cada conjunto de dígitos puede unirse de dos maneras para formar dos números, por lo que todos los números posibles de dos cifras son los siguientes:

• $1, 9 \Rightarrow 19, 91$
• $2, 8 \Rightarrow 28, 82$
• $3, 7 \Rightarrow 37, 73$
• $4, 6 \Rightarrow 46, 64$
• $5, 5 \Rightarrow 55$

Técnicamente, podríamos enumerar muchos más números de 3 a 10 dígitos (por ejemplo, 127, 523), pero si tenemos posibilidades de dos dígitos, no hay razón para comprobar los de tres dígitos en adelante, ya que estamos buscando el número más pequeño.

De la lista de números anterior, se puede ver que $19$ es el más pequeño. Sin embargo, podríamos haber encontrado esto sin agotar todas las opciones de dos dígitos. Desgraciadamente, estoy sugiriendo un método de adivinar y comprobar, pero una versión estratégica/informada. En este caso, comprobamos si el 1 podría ser un posible primer dígito, ya que estamos buscando el número más pequeño posible. $10-1 = 9$ Así que $19$ es un resultado válido y no podemos encontrar una respuesta más pequeña (ya que no hay ningún número de una cifra que sea igual a $10$ y no hay ningún otro número de dos cifras en los 10s que sumen $10$ .

Ahora, déjame tomar 16 para mostrarte el enfoque correcto. Usted no sólo quiere empezar con $16-1$ y luego $16-2$ ya que estos devuelven un número de dos dígitos ( $1+15 = 16$ etc.), por lo que querrá hacer una suposición informada para tratar de encontrar el par más bajo de números de un solo dígito que sumen $16$ . Desde $6+10 = 16$ , cualquier cosa $\le 6$ tendría una pareja de dos dígitos, así que intentamos $7$ y encontrar que $7+9 = 16$ Así que $79$ es nuestro valor más pequeño que suma 16.

Hagamos otro ejemplo que es $< 20$ : $15$ . Desde $5+10 = 15$ , intente $6$ ya que este debería ser el primero con un solo dígito más (ya que técnicamente estás sumando $1$ a $5$ y restando $1$ de $10$ , por lo que se encuentra $6$ y $9$ o $69$ .

Una vez que llegue a $19$ no es posible encontrar una respuesta de dos dígitos que sume $20$ así que tenemos que pasar a 3 dígitos. Intenta usar $1$ como primer dígito (esto sólo funciona para $19$ por cierto, al igual que sólo funcionó para $10$ para 2 dígitos), por lo que $19-1 = 18$ y ahora necesitamos encontrar dos dígitos uno que sumen $18$ que es $9+9$ Así que $1+9+9 = 19$ Así que nuestra respuesta es $199$ .

Las respuestas de un solo dígito sólo te llevarán hasta $9$ , Las respuestas de dos dígitos sólo te llevarán hasta $9+9=18$ , Las tres cifras sólo llegarán hasta $9+9+9=27$ , y así sucesivamente.

Siento que no haya una fórmula que se me ocurra para resolver esto rápidamente, pero con algunos intentos informados, deberías ser capaz de encontrar la respuesta bastante rápido.

Answer 2

Si $s$ es la suma, el número de dígitos es $k=\lceil s/9 \rceil$ . El dígito principal es entonces $s+9-9k$ . Entonces hay $k-1 \ \ 9$ 's

Answer 3

Si tienes cualquier suma s y quieres saber el número más pequeño cuyos dígitos suman esa suma, sólo tienes que utilizar la aritmética del módulo 9.

Calculas s mod 9, que será tu primera cifra a la izquierda, luego resuelves para q y ese será el número de 9s que añades a la derecha.

Por ejemplo:

16 mod 9 es 7. Resolviendo q en la ecuación 16 = qx9 + 7 se obtiene q=1, por lo que 7 a la izquierda y un 9 a la derecha = 79.

Esto es así por los conjuntos congruentes de módulo 9.