Si $f$ es monótona demostrar que es continua

Question

Supongamos que $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ es una función monótona que satisface el Teorema del Valor Intermedio. Demuestre que $f$ es continua.

Es un poco confuso cómo dicen que satisface la IVT. ¿No sólo las funciones continuas satisfacen la IVT? Si en cambio se refieren a la condición de que si toma cualquier valor entre $[a,b]$ entonces también toma cualquier valor entre $f(a)$ y $f(b)$ , entonces tendremos que utilizar la definición de la monotonicidad. Supongamos que $x<y$ y $f(x) < f(y)$ para cualquier $x,y \in [a,b]$ . ¿Cómo podemos usar esto con la IVT aquí para demostrar que $f$ es continua?

Answer 1

No es restrictivo asumir que $f$ es creciente (en caso contrario, utilice $-f$ ). Demostrar que, para $c\in(a,b)$ , $$ \lim_{x\to c^-}f(x)=\sup\{f(x):a\le x<c\}, \qquad \lim_{x\to c^+}f(x)=\inf\{f(x):c<x\le b\}, $$ y que $$ \lim_{x\to a^+}f(x)=\inf\{f(x):a<x\le b\}, \qquad \lim_{x\to b^-}f(x)=\sup\{f(x):a\le x< b\}. $$ Supongamos que para algunos $c\in(a,b)$ los límites de la izquierda y de la derecha son diferentes y aplicar la hipótesis sobre el IVT. Termina con los valores de los extremos $a$ y $b$ .

Answer 2

Un $\epsilon,\delta$ - a prueba:

Dejemos que $x_0 \in (a,b)$ sea arbitraria y que $\epsilon > 0$ . Dejemos que $s_1 = \min(f(x_0)+\epsilon/2, f(b))$ . Entonces el número $f(x_0)+s_1$ satisface $f(x_0) < f(x_0)+s_1 < f(x_0)+\epsilon$ . Por la propiedad del valor intermedio, existe entonces algún $\delta_1 > 0$ tal que $f(x_0 + \delta_1) = f(x_0)+s_1$ (por la elección de $s_1 = \min(f(x_0)+\epsilon/2, f(b))$ nos garantizamos permanecer dentro del dominio de $f$ ). Del mismo modo, dejemos que $s_2 = \max(f(x_0)-\epsilon/2, f(a))$ y encontrar un $\delta_2>0$ tal que $f(x_0-\delta_2) = f(x_0)-s_2$ . Toma $\delta = \min(\delta_1,\delta_2) > 0$ .

Ahora considere la vecindad perforada $U_\delta = \{x \in (a,b) : 0 < |x - x_0| < \delta\}$ . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $f$ es creciente. Sea $x \in U_\delta$ sea arbitraria. Si $x > x_0$ tenemos, como $f$ está aumentando, $f(x_0) \leq f(x) \leq f(x_0+\delta_1) = f(x_0)+s_1 < f(x_0)+\epsilon$ De ahí que $|f(x)-f(x_0)| < \epsilon$ . Si $x < x_0$ tenemos, como $f$ está aumentando, $f(x_0)-\epsilon < f(x_0)-s_2 = f(x_0-\delta_2) \leq f(x) \leq f(x_0)$ De ahí que $|f(x)-f(x_0)| < \epsilon$ .

Puedes elaborar la prueba de los puntos finales como ejercicio.