¿De cuántas maneras se pueden seleccionar 3 números del conjunto {1,2,3...99} para que la suma sea par?

Question

Intenté este enfoque , la única forma de hacer una suma par es dos Impares y uno par o $3$ incluso. Así que la respuesta es $${49\choose 3} + {50\choose2}\cdot{49\choose1}.$$ ¿Es esto correcto? ¿Hay alguna otra forma de pensarlo?

Answer 1

También puedes centrarte en el resto de los números $\mod 2$ . A continuación, la lista de los números $\{1,2,3, ... ,99\}$ se convertiría en $\{1,0,1,0, ... ,1\}$ con $50$ y $49$ ceros. Para la suma de $3$ números para ser $\equiv 0 \mod 2$ las únicas opciones son:

• $2$ y $1$ cero. Aquí hay ${50\choose2}\cdot{49\choose1}$ formas.

• $3$ ceros. Aquí hay ${49\choose 3}$ formas.

Así que el número total de formas es $$ {50\choose2}\cdot{49\choose1} + {49\choose 3} = 49^2 \cdot 25 + 49 \cdot 47 \cdot 8 = 49 \cdot 1601. $$

Es un razonamiento bastante similar, pero este método es más fácil de usar cuando se trata de números mayores, por ejemplo, "La suma de $3$ números $\mod 37 \equiv 0$ ".

Answer 2

Sí es correcto como veo, eres un buen