Estoy empezando a estudiar los números complejos, obviamente hemos trabajado con la fórmula de De Moivre. Me preguntaba sobre el origen de la misma y busqué el documento original, lo encontré en el Philosophicis Transactionibus Num. 309, "De sectione Anguli", pero sólo en latín, por lo que algunas palabras son difíciles de entender, sin embargo, en la parte matemática no veo dónde está la fórmula.
Respuestas
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El teorema de De Moivre siempre me ha parecido bastante intuitivo. Intentaré explicar por qué (sé que no es lo que pedías, pero puede darte una idea de por qué se pensaba que existía esa fórmula).
Piensa en multiplicar dos números complejos $z_1, z_2$ . Se puede hacer algebraicamente en el $a+ib$ y obtener una fórmula o puedes hacerlo con la forma módulo-argumento $r(\cos\theta + i \sin\theta)$ .
Si se hace en la forma de argumento de módulo se encuentra, después de un poco de manipulación trigonométrica, que el efecto de esta multiplicación es sumar los argumentos y multiplicar los módulos, es decir, si los argumentos son $\theta_1, \theta_2$ y los módulos son $r_1, r_2$ entonces el producto es $r_1r_2(\cos(\theta_1+\theta_2) + i \sin(\theta_1+\theta_2))$ . Geométricamente esto es hacer una rotación de uno por el otro y un estiramiento/desplazamiento hacia afuera/hacia adentro.
Bien, ahora piensa en lo que ocurre si elevas al cuadrado un número complejo $z$ . En este caso $\theta_1=\theta_2=\theta$ y $r_1=r_2=r$ por lo que al elevar al cuadrado vas a obtener un número complejo con el doble del argumento y el cuadrado del módulo original, es decir $z^2 = z.z = r^2(\cos(2\theta)+i \sin(2\theta))$ .
¿Y si cubres? Puedes ver que obtendrás $z^3=z.z^2 = r^3(\cos(3\theta)+i \sin(3\theta))$ e intuitivamente puedes ver lo que está pasando cada vez. Inductivamente se encuentra entonces que $z^n = r^n(\cos(n\theta)+i \sin(n\theta))$ que se nota que es el teorema de De Moivre.
Dietrich Burde
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