Primero se utiliza $c$ como parámetro, es decir, considerar su ecuación como una curva elíptica sobre $\mathbb{Q}(c)$ . También se puede considerar esta ecuación como una ecuación de una superficie elíptica $S$ . Ahora se demuestra fácilmente que $S$ es una superficie K3, y que es el cociente de $E\times E$ por un grupo de orden 2, con $E$ la curva elíptica $y^2=x^3-x$ . De esto se deduce que el número de Picard de $S$ es 20. Utilizando la fórmula de Shioda-Tate se deduce que el $\overline{\mathbb{Q}}(c)$ rango de $y^2c(c^2-1)=x(x^2-1)$ es dos. Como esta superficie elíptica tiene 4 $I_0^*$ fibras, el grupo de torsión tiene que ser un subgrupo de $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$ Por lo tanto $(x,y)=(c,1)$ es un punto de orden infinito. (Por supuesto, se puede demostrar esto mostrando que $2(c,1)$ , $4(c,1)$ , $6(c,1)$ y $8(c,1)$ son distintos de cero).
Tenga en cuenta que $(x,y)=(-c,\sqrt{-1})$ es también un punto de orden infinito, y que este punto no está en el subgrupo generado por $(c,1)$ . Esto implica $E(\mathbb{Q}(c))$ está generada por los cuatro puntos de dos torsiones y $(c,1)$ . Así que el punto $(c,1)$ es de orden infinito y este es el único punto que se obtiene de forma gratuita.
Para valores especiales de $c$ el rango puede ser mayor. Si usted fuera capaz de controlar de la manera que pide en su pregunta entonces esto sería muy grande, porque significa más o menos que usted es capaz de controlar el rango de las curvas elípticas bajo torsión cuadrática.
Sin embargo, hay un resultado más débil, usando el 2descenso se puede obtener un límite en el rango dependiendo del número de primos que dividen $2c(c^2-1)$ Véase, por ejemplo, la sección X.5 del libro de Silverman sobre la aritmética de las curvas elípticas.
