¿Cómo resolvemos un

Question

$a = (5^4\ (\text{mod}\ 7))^3\ (\text{mod}\ 13)$

Sé que tengo que evaluar $5^4\ (\text{mod}\ 7)$ primero, pero ¿cómo se hace eso sin usar un calc?

entonces tengo que evaluar $x^3\ (\text{mod}\ 13)$ . ¿Algún consejo?

Answer 1

$$5^4=25\cdot 25\equiv 4\cdot 4 \equiv 2 \quad(\text{mod}\,7)$$

$$2^3 = 8 \equiv 8 \quad(\text{mod}\,13)$$

Answer 2

Multiplica en tu cabeza. Más rápido y seguro que una calculadora. No hay que rebuscar en la calculadora, no hay que quedarse sin batería, no hay que cometer errores de tecleo.

Recordemos que $5^2=25$ , resto $4$ en la división por $7$ . Cuadrado de nuevo (es decir, cuadrado $4$ ), tomar el resto de la división por $7$ . Obtenemos $2$ . Cubo $2$ .

Answer 3

Puedes utilizar el hecho de que la multiplicación se distribuye sobre la suma. So, (5)(5)(5)(5)=(25)(5)(5)=(20+5)(5)(5)=((5)20+(5)5)5=(100+25)(5)=(125)5=(100+20+5)5=(100(5)+20(5)+5(5))=(500+100+25)=625. (700-70)=630, por lo que 623 es el múltiplo de 7 más cercano a 625 que no es mayor que 625. Por tanto, 625 (mod 7)≡2. Como dos la tercera potencia es igual a ocho, y 8 mod 13 es congruente con 8, obtenemos 8. Personalmente, me gusta más el método de Argon, pero no sabía que

a(b) (mod x)≡(a (mod x))(b (mod x)).