¿Definición de monoide totalmente ordenado?

Question

Supongamos que tengo el monoide $(\mathbb{N},\times)$ .

Tengo entendido que para la relación $\le$ para formar un orden total en el magma anterior, debe ser cierto lo siguiente:

$$a\le b\iff (\forall c\in\mathbb{N})\ a\times c\le b\times c$$

Si ese es el caso, entonces podría conectar $10$ para $a$ , $5$ para $b$ y $0$ en para $c$ y llegar a una contradicción:

$$\begin{align} 10\le5&\iff \ 10\times 0\le 5\times 0\\ F&\iff \ 0\le 0\\ F&\iff \ T\\ \end{align}$$

Sin embargo, si en lugar de eso la definición fuera (if vs iff):

$$a\le b\implies (\forall c\in\mathbb{N})\ a\times c\le b\times c$$

Entonces la contradicción que mostré desaparece (el lado derecho se convierte en una verdad vacía). Entonces, ¿cuál es la definición correcta? O realmente, ¿cuál es la definición más útil?

Answer 1

Hay un error lógico en su argumento: En $$a\le b\iff (\forall c\in\mathbb{N})\ a\times c\le b\times c$$ no se puede "enchufar" algo para $c$ como el $\forall$ no está en el nivel superior.

Considera eso:

• "Mido 3 metros si por cada persona $x$ , $x$ es un matemático" es cierto, porque no mido 3 metros y hay gente que no es matemática.
• "Mido 3 metros si Jean-Pierre Serre es matemático" es falso, porque yo no mido 3 metros sino que Jean-Pierre Serre es matemático. Por lo tanto, si se "enchufa" a Serre para $x$ no es válido.

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Para un monoide $(M,\times)$ La definición que utilices no importa, ya que las dos definiciones que propones son realmente equivalentes. Esto se debe a que la implicación $$a\le b \Longleftarrow (\forall c\in M)\ a\times c\le b\times c$$ es siempre verdadera: suponiendo que $(\forall c\in M)\ a\times c \le b\times c$ podemos conectar $c = 1$ para obtener $a \le b$ .

Para un magma general, el $\Longrightarrow$ es probablemente la definición "correcta" y, por lo que he podido encontrar, es la única que se utiliza. Véase, por ejemplo https://en.wikipedia.org/wiki/Ordered_semigroup