Identificación del tipo de cónica mediante su matriz simétrica en el plano euclidiano extendido

Question

He representado la cónica $C$ en el plano euclidiano descrito por la ecuación $$3x^{2}+ 2y^{2}+ 7xy + 4x + 5y + 3 = 0$$ como una matriz simétrica. \begin{pmatrix} 3 & 7/2 & 2\\ 7/2 & 2 & 5/2\\ 2 & 5/2 & 3\end{pmatrix} .

Ahora se me pide que demuestre que $C$ es no singular e identifica el tipo de cónica. Creo que he demostrado que es no singular utilizando el hecho de que $A$ es singular, es decir, el determinante de $A$ es $0$ si y sólo si el polinomio $X^{t}AX$ se puede factorizar sobre los números complejos en dos factores lineales. Lo hice calculando $X^{t}AX$ para obtener $17/2x^{2}+8y^{2} +15z^{2}$ y afirmó que no se puede factorizar, por lo que no es singular.

Necesito ayuda para identificar el tipo de cónica. Inicialmente tomé el resultado de arriba, $17/2x^{2}+8y^{2} +15z^{2}$ y lo convertí de nuevo en cartesiano pero no pude obtenerlo en forma de ninguna cónica. ¿Algún consejo?

Answer 1

Que la matriz que has descrito sea llamada por $A_Q$ y $Q$ sea el tipo de cónica.

Si $\det A_Q =0$ , entonces la cónica es degenerada. Si $\det A_Q\neq 0$ para que la cónica no sea degenerada, podemos ver qué tipo de cónica es calculando el menor, $\det A_{33}$ . Así,
$(1)$ Es una hipérbola si $\det A_{33}<0$ .
$(2)$ Es una parábola si $\det A_{33} =0$ .
$(3)$ Es una elipse si $\det A_{33} >0$ .

En su caso, tenemos $\det A_{33} = 3\times 2-(\frac{7}{2})^{2} < 0$ . Así que es un hipérbola . Espero que sea de ayuda.