Una condición en la definición de cociente geométrico

Question

Estoy leyendo las primeras páginas del GIT de Mumford, y necesito una aclaración sobre un requisito de la definición de cociente geométrico (c.f. Definición 0.4, GIT):

Supongamos un esquema de grupo $G/S$ actúa sobre el esquema $X/S$ por $\sigma$ , donde $G,X$ son esquemas sobre $S$ . Si un par $(Y, \phi)$ que consiste en un esquema $Y$ en $S$ y un $S-$ morfismo $\phi: X \to Y$ es un cociente geométrico, entonces un requisito es " la gavilla fundamental $\mathcal{O}_Y$ es la subserie de $\phi_*(\mathcal{O}_X)$ consistente en funciones invariantes", es decir

Si $f \in \Gamma(U,\phi_*(\mathcal{O}_X))= \Gamma(\phi^{-1}(U),\mathcal{O}_X)$ entonces $f \in \Gamma(U, \mathcal{O}_Y)$ si y sólo si:

$$\begin{matrix} G \times \phi^{-1}(U)&\stackrel{\sigma}{\longrightarrow}&\phi^{-1}(U)\\ \downarrow{p_2}&&\downarrow{F}\\ \phi^{-1}(U)&\stackrel{F}{\longrightarrow}&\mathbb{A}^1 \end{matrix} $$ conmutaciones (donde $F$ es el morfismo definido por $f$ y $\mathbb{A}^1 = \operatorname{Spec}(\mathbb{Z}[x])$ )

Mi pregunta es cómo darle sentido a esto $F$ ?

Answer 1

Una función regular $f \in \mathcal O_X(U)$ define un morfismo $F: U \rightarrow \mathbb A^1$ . En el caso clásico de una variedad sobre un campo algebraicamente cerrado, la línea afín se identifica con el campo base $k$ este mapa es simplemente una evaluación.

En general, si $f \in \mathcal O_X(U)$ es un elemento de la gavilla estructural sobre un subconjunto afín abierto $U$ entonces existe un homomorfismo natural de anillo $\mathbb Z[X] \rightarrow \mathcal O_X(U)$ cartografía $X$ a $f$ . Tomando Spec se obtiene su morfismo $F: U \rightarrow \mathbb A^1$ . En su caso, su función regular es $f \circ \phi$ definido en $\phi^{-1}U$ .