Como se indica en el título, estoy tratando de demostrar que $\operatorname{Char}_{E}(x)$ es medible si $E$ es medible, donde $\operatorname{Char}_{E}(x)$ es la función característica en $E$ es decir $\operatorname{Char}_{E}(x)$ ={ $0$ si $x \notin E$ y $1$ si $x \in E$ }.
Por lo tanto, dejemos que $\operatorname{Char}_{E}(x)$ : $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ . Supongamos que $\operatorname{Char}_{E}(x)$ es medible, y por lo tanto dado cualquier conjunto abierto $U \subset \mathbb{R}$ tenemos $f^{-1}(U)$ es medible. Necesito usar esto para demostrar que E es medible.
Soy bastante nuevo en la teoría de la medida, así que realmente estoy haciendo una lluvia de ideas. Pero quiero hacer algo como $\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(1-1/n,1+1/n\right)$ y utilizar el hecho de que el conjunto de funciones medibles $M$ es un $\sigma$ -para obtener una vecindad de 1 tal que su preimagen sea $E$ sin embargo, el vecindario que he construido a través de una intersección contable infinita será simplemente el conjunto { $1$ } y, por tanto, no se abrirá. ¡Necesito un poco de ayuda seria aquí!
Ahora voy a suponer que $E$ es medible, y quiero demostrar que dado un conjunto abierto arbitrario $U \subset \mathbb{R}$ , $f^{-1}(U)$ es medible en $\mathbb{R}$ .
¡¡Estoy igual de perdido tratando de probar este converso, cualquier idea es apreciada!!
