Pregunta sobre la suma $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n} = -\ln(1-x)$

Question

$f(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n} = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + ... = -\ln(1-x)$ para $|x| < 1$ .

$f'(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1} = 1 + x + x^2 + x^3 +... = \frac{1}{1-x}$ para $|x| < 1$

Si $f'(x) = \displaystyle\frac{1}{1-x}$ entonces $f(x) = \displaystyle\int\frac{1}{1-x}dx$

Pero $\displaystyle\int \frac{1}{1-x}dx = -\ln(1-x) + C$ y así $f(x) = -\ln(1-x) + C$

¿Necesitamos una integral definida aquí para que no haya $C$ y estará de acuerdo con cómo $f(x)$ se definió originalmente? Si es así, ¿cuál sería la integral definida? ¿O tal vez no hay integral definida en absoluto?

Answer 1

Tienes razón: $f'(x)=\frac1{1-x}$ Así que $f(x)$ debe ser $-\ln(1-x)+C$ para algunos $C$ . Ahora, para encontrar lo que $C$ es, intenta dejar que $x$ sea $0$ y resolviendo para $C$ .

O, si quieres hacer una integral definitiva, empieza por: $$1+t+t^2+\dotsb=\frac1{1-t}$$ Tome la integral definida de $0$ a $x$ : \begin{align} \int_0^x(1+t+t^2+\dotsb)\operatorname d\!t&=\int_0^x\frac1{1-t}\operatorname d\!t\\ x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}3+\dotsb&=-\ln(1-x) \end{align}

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Obsérvese que si tomamos $x=-1$ , obtenemos la famosa serie para $\ln2$ : $$\ln2=1-\frac12+\frac13-\dotsb$$ que se puede demostrar sin cálculo si te esfuerzas lo suficiente.

Answer 2

Aquí ocurren varias cosas. Una es la cuestión de la $+C.$ Lo que has escrito podría expresarse mejor

Si $f'(x) = \displaystyle\frac{1}{1-x}$ entonces por definición de la integral indefinida $\displaystyle\int\frac{1}{1-x}dx=f(x)+C$

Además, por definición de integrales definidas

Si $f'(x) = \displaystyle\frac{1}{1-x}$ , en $[a,b]$ entonces $ \displaystyle\int_a^b\frac{1}{1-t}dt=f(b)-f(a)$

Obsérvese que una constante de integración elegida arbitrariamente $C$ se anulará.

He cambiado la variable de integración para poder decir que para $|x| \lt 1,$ $$\int_0^x\frac1{1-t}dt=-\ln(1-t)\mid_0^x=\left(-\ln(1-x)\right)-(-\ln(1-0))=\ln\left(\frac1{1-x}\right)-0$$

También está la cuestión de la integración término a término y la diferenciación de series de potencias. Obsérvese que este es uno de los casos interesantes en los que

$f(x) = = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + ... = -\ln(1-x)$ para $|x| < 1$ y también $x=-1$ pero no $x=1.$

$f'(x) = 1 + x + x^2 + x^3 +... = \frac{1}{1-x}$ para $|x| < 1$ pero no para $x= -1$ o $x=1.$