Cómo demostrar que $f(x)$ se puede expresar de forma única de la siguiente manera: $f(x)=\prod_{i=1}^k[f_i(x)]^{n_i}$

Question

Sea $f(x) \in F[x]$, siendo $F$ un campo, monico. ¿Cómo mostrar que $f(x)$ puede ser expresado de manera única como sigue:

$$f(x)=\prod_{i=1}^k[f_i(x)]^{n_i}$$

para algún polinomio irreducible monico $f_i(x) \in F[x]$ y $k\in \mathbb{N}~(n_i$ son enteros positivos)

Answer 1

Si $F$ es un campo, $F[X]$ es un Dominio de Ideales Principales (toma un ideal $I\neq 0$ de $F[x]$ y un polinomio de grado mínimo en él, luego concluye usando el algoritmo de Euclides). Dado que cualquier DIP también es un Dominio de Factorización Única (una prueba de este hecho se puede encontrar en la mayoría de los libros de álgebra abstracta, como en el Álgebra Básica I de Jacobson), has terminado.