¿Por qué hay una velocidad de escape?

Question

He estado tratando durante días, pero simplemente no puedo entender por qué escapar de las velocidades de existir. He buscado en la web y hasta este sitio, y aunque he leído muchas explicaciones, no he sido capaz de realmente entender. La mayoría de las explicaciones que he visto implican el cálculo; lo único que sé muy poco de cálculo. Podría alguien proporcionar una explicación más intuitiva?

Aquí es lo que quiero saber y entender:

• La velocidad de Escape es la velocidad a la que la energía cinética es igual a la energía potencial gravitacional de un objeto
• La velocidad de Escape no es la misma que la velocidad de la órbita, el satélite que nunca alcanza la velocidad de escape, la velocidad de escape es sólo una velocidad inicial. Y todos los demás conceptos erróneos comunes.

Lo que no entiendo, es por qué un objeto que ha alcanzado la velocidad de escape nunca va a volver de nuevo al planeta fue lanzado desde el. Para ayudarle a entender donde estoy atascado aquí una "prueba":

1. Todo nuestro universo se compone de dos cuerpos. Una tetera de masa m, y un planeta de masa M. M es de muchos millones de veces mayor que m, por lo que la fuerza gravitacional que actúa sobre el planeta es trivial.
2. El lanzamiento de la tetera del planeta, dándole una velocidad inicial U (en relación con el planeta). U > velocidad de escape para que el planeta en particular.
3. Ahora, la única fuerza que actúa sobre el cuerpo (tetera) es la fuerza gravitacional del planeta, lo que resulta en una aceleración negativa (en relación con el planeta). La fuerza, y por lo tanto el resultado de la desaceleración, será la disminución de cuadráticamente medida que aumenta la distancia. La aceleración negativa va a estar muy cerca, pero nunca acaba de llegar a cero.
4. Por lo tanto, la velocidad de la tetera nunca se deja de disminuir. La tetera se mantenga la desaceleración para siempre.
5. Llegamos a la conclusión de que, en algún punto, la velocidad de la tetera va a llegar a cero. La tetera y luego la caída de vuelta al planeta, aunque la U fue mayor que la velocidad de escape.

Sospecho que mi implicación (4) => (5) es falso. Que alguien explique por qué, usando la menor cantidad de Cálculo como sea posible. Este podría ser similar a la de Aquiles y la Tortuga paradoja?

Gracias de antemano!

Answer 1

No sé si te ayudará, pero lo que te falta es la intuición fundamental del cálculo si usted desea. Esta falta de comprensión genera paradojas desde el tiempo de los Griegos. Ver "Aquiles y la tortuga" en la Wikipedia.

El punto básico es que usted puede sumar un infinito número de "intervalos" (números reales) y obtener una finitode resultados. Por ejemplo, si usted suma $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots$ se obtiene 1 (perfectamente finito). La idea es la misma con la desaceleración. La desaceleración reduce la velocidad un poco en un cierto intervalo de tiempo, que está lejos, la desaceleración se hace más pequeño y se reduce la velocidad de nuevo, pero un poco menos que antes, etc. El punto es la suma de todas las pequeñas reducciones de la velocidad es finita y si esta suma es menor que la velocidad inicial, la velocidad nunca va a llegar a cero y el vaso de agua siempre va a estar volando lejos, no volver jamás.

Por ejemplo, si la velocidad inicial es de 2 y la desaceleración reduce la velocidad en poco pasos como este $2 -\frac{1}{2} -\frac{1}{4} -\frac{1}{8} -\frac{1}{16}\cdots$ la velocidad final es $2-1=1$, siendo positiva! Si se inició con una velocidad de menos de $1$, la velocidad sería negativo y la tetera va a caer de nuevo en el planeta. Espero que te ayude en tu intuición, pero el estudio del cálculo, es útil ;)

Answer 2

5 no se sigue 4. Voy a utilizar sólo el tiempo derivativo para mostrar esto. Para un simple contador-ejemplo 5, considere la posibilidad de un exponencialmente la velocidad de descomposición:

$v = V_0e^{-\alpha t}$

Claramente, la velocidad asintóticamente se aproxima a cero. ¿Cuál es la aceleración?

$a = -\alpha V_0e^{-\alpha t}$

Así que, aunque siempre hay un no-cero de la desaceleración, es decir, el objeto se hace más lento, para siempre, la velocidad nunca llega a cero.

Ahora considere un objeto con la siguiente velocidad:

$v = V_\infty + V_0e^{-\alpha t}$

De nuevo, el objeto se hace más lento, para siempre y, sin embargo, la velocidad se aproxima a una constante, valor que no sea cero.

Answer 3

Aquí es un hermoso matemático explicación al Problema de La Velocidad de Escape [1]

En resumen, la altura a la que la velocidad de la tetera se convierte en cero, es muy, muy grande (~ infinito). Por tanto, los organismos que salir de la tierra con la velocidad de escape no retorno, incluso a pesar de la gravedad puede actuar sobre ellos.

[1] Cálculo: Una Intuitiva y Acercamiento Físico (Segunda Edición) Por Morris Kline

Answer 4

La velocidad de la ecuación de un cuerpo lanzado hacia arriba desde la superficie de la Tierra:

$v^2(h)=(v_o^2 – v_e^2)+v_e^2\frac{R}{h}$

donde
$v_o$ - velocidad inicial, $v_e$ - velocidad de escape, $R$ - de la Tierra radio, $h$ - la distancia del centro de la Tierra $(h>R)$

1) Si $v_o<v_e$ entonces no es $h$ a que $v=0$:

$\large {h_{max}=R\frac{v_e^2}{v_e^2-v_o^2}}$

2) Si $v_o=v_e$ $v>0$ cualquier $h$:

$v^2(h)=v_e^2\frac{R}{h}$

3) Si $v_o=2v_e$ $v$ no puede ser inferior a $\sqrt3\;v_e$:

$v^2(h)=3v_e^2+v_e^2\frac{R}{h}$

P. S. la velocidad Inicial de la ecuación puede ser fácilmente derivada de la ecuación de conservación de la energía

$\large {\frac{mv_o^2}{2}-\frac{GMm}{R}=\frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{h}}$

y la fórmula de la velocidad de escape:

$\large {v_e=\sqrt{\frac{2GM}{R}}}$

Answer 5

Voy a asumir que sólo usted sabe acerca de la conservación de la energía y, en particular, la fórmula para la tetera de la energía $$E= \frac{1}{2} m v^2 -\frac{ G M m}{r}$$ where $v$ is the speed and $r$ es la distancia desde la tetera al centro de la Tierra.

Sabemos que esto es constante. Considerar arbitrariamente un gran distancia $r$; si podemos resolver para $v$, yo.e si $v^2>0$ dado a la energía y a las masas, a continuación, la tetera se puede llegar a esta distancia y, con nada para detenerlo, se alcanzan mayores distancias. Desde $\frac{ G M m}{r}$ tiende a cero, como se $r$ aumenta sin límite la condición es que $E>0$ para que la tetera de escape. La fijación de $r=R_{earth}$ y ajuste de $E=0$---este es el umbral de escape--- nos permite resolver para la velocidad de escape en la superficie de la Tierra.

Con este razonamiento se puede pensar de $E$ como la "energía cinética en el infinito": si la tetera todavía tiene algunos de la izquierda, a continuación, lo que realmente puede llegar a ella.