Demostración de la continuidad de la integral de Lebesgue con el teorema de convergencia monótona

Question

Estoy tratando de probar la siguiente afirmación: Sea $f$ sea una función medible no negativa. Definimos $F(x)=\int_{-\infty}^x {f(u)du}$ . Demostrar que $F$ es continua utilizando el Teorema de Convergencia Monótona.

Empecé escribiendo la integral como:

$$F(x_0)=\int_{-\infty}^{x_0}{f(u)du} = \int{f(u)\cdot \chi_{(-\infty,x_0)}(u)du}$$

y trató de demostrar la afirmación utilizando el criterio de Heine: $F(x)$ es continua en $x_0$ si y sólo si para cada secuencia $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ tal que $x_n\rightarrow x_0$ , $F(x_n)\rightarrow F(x_0)$ .

He conseguido demostrar esto para secuencias monótonas, es decir $x_n\uparrow x_0$ y $x_n\downarrow x_0$ Utilizando el Teorema de Convergencia Monótona, sin embargo, me quedé atascado al intentar demostrarlo para una secuencia general.

Answer 1

Para $f$ sólo no negativo y medible el teorema de convergencia monótona para secuencias decrecientes no se cumple en general, para este caso necesitaremos asumir otras hipótesis, por ejemplo que $f$ es esencialmente acotado o que está dominado por una función integrable.

Suponiendo que el teorema de convergencia monótona se cumple para las secuencias decrecientes, entonces se puede utilizar el límite superior y el límite inferior de una secuencia de valor real para mostrar la convergencia de una secuencia convergente arbitraria $(x_n)$ es decir, si $\lim_{n\to \infty }x_n=x_0$ entonces $$ \begin{align*} \limsup_{n\to \infty }x_n=\lim_{n\to \infty }\sup_{k\geqslant n}x_n=x_0\tag1\\ \liminf_{n\to \infty }x_n=\lim_{n\to \infty }\inf_{k\geqslant n}x_n=x_0\tag2 \end{align*} $$ Ahora, el ajuste $s_n:=\sup_{k\geqslant n}x_n$ y $i_n:=\inf_{k\geqslant n}x_n$ tenemos que $(s_n)\downarrow x_0$ y $(i_n)\uparrow x_0$ y que $i_n\leqslant x_n\leqslant s_n$ para todos $n\in \Bbb N $ Por lo tanto $$ \int_{-\infty }^{i_n}f(u)\,\mathrm d u\leqslant \int _{-\infty }^{x_n}f(u)\,\mathrm d u\leqslant \int_{-\infty }^{s_n}f(u)\,\mathrm d u\tag3 $$ Entonces, tomando los límites en $\rm(3)$ ya está hecho.