Cardinalidad del conjunto de números primos

Question

Euclides demostró que existen infinitos primos. Pero, ¿cuál es la cardinalidad del conjunto de los números primos?

Cantor demostró que los conjuntos $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{Z}$ tienen la misma cardinalidad que los números naturales $\mathbb{N}$ construyendo un emparejamiento de los dos conjuntos, o una función biyectiva $\pi_{\mathbb{Z}} : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}$ y $\pi_{\mathbb{Q}} : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q}$ .

Dejemos que $\mathbb{P}$ denotan el conjunto de números primos. ¿Es posible construir tal función de emparejamiento? $\pi_{\mathbb{P}} : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{P}$ ?

Está claro que $|\mathbb{P}| \leq |\mathbb{N}| = \aleph_0$ desde $\mathbb{P} \subset \mathbb{N}$ . ¿Es posible demostrar que $|\mathbb{P}| \geq |\mathbb{N}|$ o tenemos $|\mathbb{P}| < |\mathbb{N}|$ ?

Answer 1

No es difícil demostrar que todo subconjunto infinito de $\Bbb N$ es de hecho de cardinalidad $\aleph_0$ . Dejemos que $A$ sea dicho conjunto, y definir la siguiente función: $$f(a)=\big|\{n\in A\mid n<a\}\big|.$$

No es muy difícil ver que se trata de una biyección entre $A$ y $\Bbb N$ .

Así tenemos que la cardinalidad de $\Bbb P$ es $\aleph_0$ igual de bien.

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Otro punto que vale la pena mencionar es que si $|A|<\aleph_0$ entonces por definición $A$ es finito (porque $\aleph_0$ es un mínimo cardinal por encima de los cardinales finitos), por lo que si $\Bbb P$ tiene una cardinalidad menor que $\aleph_0$ es finito, en contradicción con todas las pruebas dadas de que no lo es.

Answer 2

Desde $\Bbb P \subset \Bbb N$ tenemos una ordenación natural heredada en $\Bbb P$ . Como es un subconjunto de un ordenamiento bueno, el ordenamiento inducido es de nuevo un ordenamiento bueno.

Así, tenemos que $(\Bbb P, <)$ es una ordenación infinita; está claro que no contiene límites.

Por lo tanto, el tipo de orden de $(\Bbb P, <)$ debe ser $\omega$ lo que significa que puede ponerse en correspondencia biyectiva directa con $\Bbb N$ .

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Efectivamente, esta prueba (que se basa en el teorema "todo ordenamiento es isomorfo a un ordinal único") da una biyección por la siguiente definición recursiva:

$$f: \Bbb N \to \Bbb P: f(n) := \begin{cases}\inf \Bbb P &: n = 0\\\inf(\Bbb P \setminus\{f(1)\ldots f(m)\}) &: n = m+1\end{cases}$$

Es decir, " $f(n)$ es el $n+1$ El número primo más pequeño".

Answer 3

$\aleph_0$ es el cardinal infinito más pequeño. Por lo tanto, como $\mathbb{P}$ es infinito, $|\mathbb{P}| \geq \aleph_0$ . Finalmente, $|\mathbb{P}|= \aleph_0$ .