¿Existe un entramado finito tal que todo elemento irreducible de unión sea modular de izquierda y que no sea semimodular?

Question

¿Existe un entramado finito tal que todo elemento irreducible de unión sea modular de izquierda y que no sea semimodular?

He podido demostrar que no existen tales retículos atomísticos acotados (no necesariamente finitos), utilizando el hecho de que tal retículo es semimodular si es geométrico.

Answer 1

Yo sostengo el contrapositivo, que si $L$ es una red finita que no es semimodular, entonces $L$ tiene un irreducible de unión que no es modular de izquierda.

Desde $L$ no es semimodular, contiene elementos $a, b$ tal que $a\wedge b\prec a$ pero $b\not\prec a\vee b$ . Elija cualquier $c$ tal que $b < c < a\vee b$ . Ahora elija cualquier $j\leq a$ mínimo para la propiedad que $j\not\leq b$ ; $j$ se une a los irreducibles. Además, $j$ no es modular de izquierda, ya que $(j,c)$ no es un par modular. Para verificar esta última afirmación, calcula que

• $b\vee (j\wedge c) = b\vee (j\wedge a\wedge c) = b\vee (j\wedge a\wedge b) = b$ ,

• $(b\vee j)\wedge c = (b\vee (b\wedge a)\vee j)\wedge c = (b\vee a)\wedge c = c$ ,
  y estos son diferentes.