Resuelve lo siguiente utilizando la desigualdad AM-GM

Question

El menor valor de $a \in R$ para lo cual $4ax^2 + \frac{1}{x} \ge 1 $ para todos $x \gt 0 $ es

Uso de la desigualdad AM-GM $$\frac{4ax^2 + \frac{1}{2x} + \frac{1}{2x}}{3} \ge \sqrt[3]{a}$$ $$4ax^2 + \frac{1}{x} \ge 3\sqrt[3]{a}$$

Ahora mi pregunta comienza desde aquí.

¿Puedo hacer eso por el valor mínimo de $a$ El valor de $3\sqrt[3]{a} $ debe ser mayor que el valor mínimo de $4ax^2 + \frac{1}{x}$

Answer 1

¿Puedo hacer eso por el valor mínimo de $a$ El valor de $3\sqrt[3]{a} $ debe ser mayor que el valor mínimo de $4ax^2 + \frac{1}{x}$

Me parece extraño porque "el valor mínimo de $4ax^2 + \frac{1}{x}$ " es $3\sqrt[3]{a}$ . Así que supongo que querías decir que "el valor de $3\sqrt[3]{a} $ debe ser mayor que $1$ ". Entonces, es correcto. Voy a escribir los detalles en el siguiente.

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Como comentan algunos, $a$ tiene que ser positivo. (ajuste $x=1$ da $a\ge 0$ pero para $a=0$ la desigualdad no se cumple para $x=2$ .)

Usted tiene $$4ax^2+\frac 1x\ge 3\sqrt[3]{a}$$ La igualdad se mantiene cuando $x=\frac{1}{2\sqrt[3]{a}}\ (\gt 0)$ .

Si $3\sqrt[3]{a}\ge 1$ es decir $a\ge\frac{1}{27}$ , $$4ax^2+\frac 1x\ge 3\sqrt[3]{a}\ge 1$$ es válida para todos los $x\gt 0$ .

Si $0\lt 3\sqrt[3]{a}\lt 1$ es decir $0\lt a\lt \frac{1}{27}$ , $$4ax^2+\frac 1x\ge 1$$ hace no mantener para $x=\frac{1}{2\sqrt[3]{a}}$ .

Por lo tanto, el menor valor de $a$ es $\frac{1}{27}$ .

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Otra forma :

Podemos tener $$a\ge\frac{x-1}{4x^3}$$ Consideremos ahora la gráfica de $y=\frac{x-1}{4x^3}$ para $x\gt 0$ .

Answer 2

No, creo. Porque no existe $a>0$ para lo cual $3\sqrt[3]a>3\sqrt[3]a$ .

Para el problema original vemos que como para $4ax^2=\frac{1}{2x}$ se consigue una igualdad y se obtiene $a\geq\frac{1}{27}$ , por lo que la respuesta es $\frac{1}{27}$ .