¿Cuándo los anillos de representación son anillos lambda especiales? (variaciones de una vieja pregunta)

Question

Estado: Las preguntas 2 y 4 se responden negativamente. Las preguntas 1 y 3 SIGUEN SIN RESPUESTA a pesar de las afirmaciones anteriores.

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En la tercera página del artículo de Wolfang K. Seiler "lambda-rings and Adams operations in algebraic K-Theory" (pp. 93-102 en Conjeturas de Beilinson ), se afirma que el anillo de Grothendieck de representaciones de un grupo dado $G$ sobre un anillo conmutativo dado $A$ Las secuencias exactas de los módulos son una forma especial $\lambda$ -Anillo. Aquí, "representaciones" significa proyectivas finitamente generadas $A$ -módulos con un $G$ -Estructura del módulo. ("Especial $\lambda$ -anillo" es lo que la mayoría de la gente llama simplemente " $\lambda$ -anillo", en contraposición a "pre $\lambda$ -anillo").

1. ¿Alguien conoce una prueba de esto? No entiendo la prueba esbozada en 1 y no tengo la referencia (R. G. Swan, Un principio de división en algebraica $K$ -teoría , en: Representation theory of finite groups and related topics, Proc. Symp. Pure Math. 21 (1971), 155-159) tampoco. Me han dicho que Atiyah-Tall tiene una prueba, pero soy muy escéptico al respecto (y si tiene una prueba, soy incapaz de encontrarla entre toda la geometría).

Sé cómo se demuestra esto para el caso de una característica $0$ (sí, esto es en Atiyah-Tall, pero es trivial usando caracteres). Mi problema es demostrar esto sobre anillos conmutativos arbitrarios.

2. ¿Y si tomamos el anillo de Grothendieck como módulo de secuencias exactas divididas (es decir, como módulo de sumas directas) en lugar de como módulo de todas las secuencias exactas? ¿Sigue siendo un anillo especial $\lambda$ -¿Anillo? ¿Y si trabajamos sobre algún campo? ¿Y si el grupo es finito?

Actualización de la 2: Esto se ve fácilmente que es incorrecto, incluso si el campo es $\mathbb F_2$ y el grupo es el $2$ -grupo de elementos. De hecho, aplicando Krull-Schmidt y considerando la descomposición de Jordan de la matriz $\left(\begin{array}{cc} 1&1\\ 0&1\end{array}\right)$ vemos fácilmente que el $\lambda^2\left(uv\right)=\left(\lambda^1\left(u\right)\right)^2\lambda^2\left(v\right)+\left(\lambda^1\left(v\right)\right)^2\lambda^2\left(u\right)-2\lambda^2\left(u\right)\lambda^2\left(v\right)$ no se cumple la ecuación si ambos $u$ y $v$ son la representación del $2$ -grupo de elementos en $\mathbb F_2^2$ en el que el generador actúa como $\left(\begin{array}{cc} 1&1\\ 0&1\end{array}\right)$ .

3. ¿Podemos esperar algún resultado razonable si sustituimos el grupo por una bialgebra conmutativa? Nótese que la cocomutatividad es necesaria para definir las potencias exteriores de un $H$ -(donde $H$ es nuestra bialgebra). ¿Y si la bialgebra es de Hopf?

4. ¿Y si eliminamos la condición de proyectividad en las representaciones de $G$ ? Sé que eliminar la condición de generación finita es una muy mala idea (de hecho, hace que el grupo de Grothendieck se colapse debido a la Estafa de Eilenberg ), pero no he visto a nadie hablar del grupo de Grothendieck de módulos finitamente generados pero no necesariamente proyectivos. ¿Es tan vergonzosamente estúpido?

Actualización del 4: La pregunta 4 ha sido respondida por Ben Wieland en los comentarios de esta entrada.

Ah, y ya he hecho esta pregunta sobre el "campo" $\mathbb F_1$ . La respuesta es "no" a las tres preguntas en este caso. Pero esta vez me interesan los anillos y los campos "reales".

EDITAR: I puede entender lo que Seiler está haciendo en 1 Pero en este caso, lo está haciendo mal, por lo que creo que no le estoy entendiendo.

Si le estoy entendiendo bien, la formulación algo críptica de Seiler "donde el módulo inducido por $M$ tiene un cociente unidimensional, dado por las funciones lineales sobre $S\left(M\right)$ " significa que consideramos la suryección $M\otimes S\left(M\right) \to S\left(M\right)$ que envía $m\otimes m_1m_2...m_k$ a $mm_1m_2...m_k$ y su núcleo es entonces un proyectivo $S\left(M\right)$ -módulo con $\lambda$ -dimensión uno menos que la de $M\otimes S\left(M\right)$ (porque para cada secuencia exacta $0\to U\to V\to W\to 0$ y cada $k\geq 0$ tenemos la igualdad $\left[\wedge^k V\right] = \sum\limits_{i=0}^k \left[\wedge^i U \otimes \wedge^{k-i} W\right]$ en $K_0$ ). Por desgracia, $M\otimes S\left(M\right)$ y $S\left(M\right)$ no son del todo $S\left(M\right)$ -módulos con $G$ -representaciones, porque $G$ no actúa $S\left(M\right)$ -linealmente en ellos (a menos que haya hecho algo mal). También necesitamos un dispositivo para concluir que dos proyectivas $R$ -módulos $V$ y $W$ con $G$ -son iguales en $K_0$ si y sólo si el correspondiente $S\left(T\right)$ -módulos $V\otimes S\left(T\right)$ y $W\otimes S\left(T\right)$ con $G$ -son iguales en $K_0$ , donde $T$ es algún proyectivo $R$ -Esto parece que debería derivarse de la gradación de las álgebras simétricas, pero no veo cómo (sobre todo porque no tengo ni idea de qué igualdad en $K_0$ significa realmente en términos de módulos).

Answer 1

Después de preguntarme esta cuestión, fui a buscar el documento de Swan. Su argumento es básicamente el que trata de decir Seiler; también utiliza un documento de J. Burroughs: http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=269719 que no he mirado. Según Swan, su resultado sólo se aplica al caso cuando $A$ es noetheriano por razones técnicas, pero que el caso general se discutirá en otro lugar.

En el caso de los intereses, supongamos $C$ es la categoría de $G$ representaciones sobre $A$ . Dado un objeto $M$ de $C$ se supone que debe considerar una categoría $C'$ . En este caso, se trata de una categoría de clasificado $S(M)$ -módulos compatibles $G$ -acción es decir, los objetos se clasifican $S(M)$ -módulos $Q$ junto con un $G$ -acción sobre $Q$ tal que el mapa de acción $S(M)\otimes Q\to Q$ es $G$ -equivariante; aquí $G$ está actuando de forma evidente no trivial en $S(M)$ .

El mapa de Seiler (y de Swan) $M\otimes S(M)\to S(M)$ es un morfismo en $C'$ por lo que se obtiene una relación de división de la forma $[K]+[S(M)]=[M\otimes S(M)]$ en $K_0(C')$ .

Swan tiene entonces el argumento de que el mapa $K_0(C)\to K_0(C')$ inducido por el tensado, es inyectivo. Me resulta difícil de analizar y no lo entiendo. Se trata de un mapa de la forma $$\theta: K_0(C')\to K_0(C)[[t]]/K_0(C)[t],$$ definido por el envío de $[Q]$ a $\sum [Q_k]t^k$ . (Es necesario cotejar por $K_0(C)[t]$ para conseguir algo que lleve secuencias exactas a las sumas). El compuesto de $\theta$ con $K_0(C)\to K_0(C')$ se demuestra entonces que es inyectiva, utilizando de alguna manera el hecho de que $\sum [S^n(M)]t^n$ tiene una inversa multiplicativa en $K_0(C')$ .