Demostrar el polinomio característico de $T$ es $(z - \lambda_1)\cdots(z - \lambda_n)$

Question

Supongamos que $V$ es un espacio vectorial complejo y $T:V\to V$ . Supongamos que con respecto a alguna base de $V$ la matriz de $T$ es triangular superior, con $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ en la diagonal de esta matriz. Demostrar que el polinomio característico de $T$ es $(z - \lambda_1)\cdots(z - \lambda_n)$ .

Creo que entiendo cómo demostrar este enunciado usando el determinante, pero me piden que lo demuestre de otra manera (sin usar el determinante) y no estoy seguro de cómo hacerlo.

Answer 1

Al no usar determinantes directamente... no debería ser muy difícil convencerse de que el núcleo de $T - \lambda I$ es no trivial siempre que el valor de $\lambda$ es lo mismo que un elemento diagonal de $T$ . Desde $T$ tiene un rango completo, esto es precisamente lo que significa para $\lambda$ sea un valor propio de $T$ y el resultado es el siguiente.