Dejemos que $f : [1, \infty) \to [1, \infty)$ sea una función tal que $f(x) = x(1 + \ln x)$ . Demostrar que $f$ es biyectiva y luego se calcula: $$\lim_{x \to \infty} \frac{f^{-1}(x) \ln x}{x}$$
No tengo ninguna dificultad en demostrar que $f$ es biyectiva, pero no puedo calcular el límite. He intentado utilizar la regla de l'Hospital pero no he conseguido nada significativo.
Gracias de antemano.
Desde $f$ es biyectiva, entonces existe una única $b$ tal que $x=f(b)$ y si $x\to\infty$ entonces también lo hace $b\to\infty$ y usando eso $f^{-1}(f(b))=b$ estás viendo $$\lim_{b\to\infty}\frac{b\ln f(b)}{f(b)}=\frac{b(\ln(b(1+\ln b)))}{b(1+\ln b)}=\frac{\ln(b)+\ln(1+\ln b)}{1+\ln b}{=^{L'h}}\lim_{b\to\infty}\frac{\frac{1}{b}+\frac{1}{b(1+\ln b)}}{\frac{1}{b}}=\lim_{b\to\infty}\frac{1+\frac{1}{1+\ln b}}{1}=1$$
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Me gustaría saber esto también, no estoy seguro, pero tal vez reescribir su límite en la forma inversa, y luego resolver para $y \to \infty$ ?